Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Desta forma, se f x ≥ g ( x ) ao longo de um intervalo a , b , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = ∫ a b f x - g x   d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo a , b .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f x = cos 2 ⁡ x e g ( x ) = 1 . O intervalo de integração é 0 , π . Como a função g x ≥ f ( x ) para todo x pertencente ao intervalo de integração, a área da região em cinza é dada por:

A = ∫ 0 π 1 - cos 2 ⁡ x   d x

Como cos 2 ⁡ x = cos ⁡ 2 x + 1 2

A = ∫ 0 π 1 - 1 + c o s ⁡ ( 2 x ) 2   d x

A = ∫ 0 π 1 - c o s ⁡ ( 2 x ) 2   d x

Passo 3

Agora, chegamos a uma integral que conseguimos calcular facilmente. Portanto, temos:

A = ∫ 0 π 1 - c o s ⁡ ( 2 x ) 2   d x = x 2 - sen ⁡ ( 2 x ) 2 2 0 π

A = π 2 - sen ⁡ 2 π 4 - 0 2 - sen ⁡ 0 2

A = π 2

Resposta

A = π 2

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