Enunciado

Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução.

3 x 2 - 2 x y + 2 + 6 y 2 - x 2 + 3 y ' = 0

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

6 y 2 - x 2 + 3 d y d x = - ( 3 x 2 - 2 x y + 2 )

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

3 x 2 - 2 x y + 2 d x + 6 y 2 - x 2 + 3 d y = 0

Assim temos que

d d y 3 x 2 - 2 x y + 2 - d d x 6 y 2 - x 2 + 3 = - 2 x - 2 x = 0

E nossa solução é exata

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = ( 3 x 2 - 2 x y + 2 )

E

d d y Y x , y = ( 6 y 2 - x 2 + 3 )

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ 3 x 2 - 2 x y + 2 d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo? Assim

Y x , y = x 3 - x 2 y + 2 x + C ( y )

Se derivarmos, deveríamos obter ( 6 y 2 - x 2 + 3 ) , ou seja

d d y Y x , y = d d y x 3 - x 2 y + 2 x + C ( y ) = - x 2 + C ' y = ( 6 y 2 - x 2 + 3 )

Com

C ' y = 6 y 2 + 3

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = 2 y 3 + 3 y

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = x 3 - x 2 y + 2 x + 2 y 3 + 3 y

Resposta

Y x , y = x 3 - x 2 y + 2 x + 2 y 3 + 3 y

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →