Enunciado

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

1 + ln ⁡ x + y x d x = ( 1 - ln ⁡ x )   d y

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, para que uma equação seja exata, precisamos que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Vamos ver isso na nossa então. Lembrando que M é a parte que acompanha o d x e N o que acompanha o d y .

Mas lembre-se que a nossa equação tem que estar igualada a zero, então vai ficar assim:

1 + ln ⁡ x + y x d x - ( 1 - ln ⁡ x )   d y = 0

Passo 2

Na nossa temos:

∂ M ∂ y = 1 x

∂ N ∂ x = 1 x

A equação então é exata! Vamos resolver...

Passo 3

Seguindo o esquema de resolver equações exatas, a primeira coisa que a gente faz é integrar M ( x , y ) em relação a x . Então bora!

∫ 1 + ln ⁡ x + y x   d x

x + x ln ⁡ | x | - x + y ln ⁡ | x | + g y               ( * )

(Não pode esquecer de somar essa função de y aí hein!)

Beleza, agora a gente vai derivar isso em relação a y :

ln ⁡ x + g ' ( y )

E agora a gente compara isso com N ( x , y ) :

- 1 + ln ⁡ x = ln ⁡ x + g ' y

g ' y = - 1

Vamos integrar isso agora para descobrir quem é g ( y ) :

∫ - 1   d y =   - y = g ( y )

(a constante a gente vai colocar ali no final)

Passo 4

Beleza, agora já encontramos g ( y ) , vamos substituir lá em ( * ) e escrever da forma certinha, igualando a uma constante:

x + x ln ⁡ | x | - x + y ln ⁡ | x | + g y

x + x ln ⁡ | x | - x + y ln ⁡ x - y = c

E assim chegamos à solução da equação!

Resposta

É exata.

Solução: x + x ln ⁡ | x | - x + y ln ⁡ x - y = c

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