Enunciado

Em cada um dos problemas 15 e 16, encontre o valor de b para qual a equação dada é exata e depois a resolva usando esse valor de b .

x y 2 + b x 2 y + x + y x 2 y ' = 0

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

x 2 x + y d y = - x y 2 + b x 2 y d x

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

x y 2 + b x 2 y d x + x 3 + x 2 y d y = 0

Assim temos que

d d y x y 2 + b x 2 y - d d x x 3 + x 2 y

= 2 x y + b x 2 - 3 x 2 + 2 x y = b x 2 - 3 x 2 = 0 → b = 3

Mostrando que nossa equação é exata, logo vamos na busca da solução, conhecida como função potencial.

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = x y 2 + 3 x 2 y

E

d d y Y x , y = x 3 + x 2 y

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ x y 2 + 3 x 2 y d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo?

Y x , y = x 2 y 2 2 + x 3 y + C y

Se derivarmos, deveríamos obter x 3 + x 2 y , ou seja

d d y Y x , y = d d y x 2 y 2 2 + x 3 y + C y

= x 2 y + x 3 + C ' y = x 3 + x 2 y

Assim temos

C ' t = 0

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = C

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = x 2 y 2 2 + x 3 y = C

Ou

Y x , y = x 2 y 2 + 2 x 3 y = C

Onde C é só uma constante e não faz diferença neste ponto

Resposta

x 2 y 2 + 2 x 3 y = C

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Nos problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. x + y 2 d x + 2 x y + x 2 - 1 d y = 0 , y 1 = 1