Enunciado

Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução

x x 2 + y 2 3 / 2 + y x 2 + y 2 3 / 2 d y d x   = 0

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

y   d y x 2 + y 2 3 / 2 = - x   d x x 2 + y 2 3 / 2

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

x   d x x 2 + y 2 3 / 2 + y   d y x 2 + y 2 3 / 2 = 0

Assim temos que

d d y x x 2 + y 2 3 / 2 - d d x y x 2 + y 2 3 2

= 3 x 2 + y 2 1 / 2   x y - 3 x 2 + y 2 1 / 2   x y = 0

Mostrando que nossa equação é exata, logo vamos na busca da solução, conhecida como função potencial.

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = x x 2 + y 2 3 2

E

d d y Y x , y = y x 2 + y 2 3 2

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ x x 2 + y 2 3 2 d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo? Ou talvez não seja tão tranquila.

Fazendo x 2 + y 2 = u → x   d x = d u / 2 e

Y x , y = - 1 x 2 + y 2 + C y

Se derivarmos, deveríamos obter y x 2 + y 2 3 2 , ou seja

d d y Y x , y = d d y - 1 x 2 + y 2 + C y

= y x 2 + y 2 3 2 + C ' y = y x 2 + y 2 3 2

Assim temos

C ' t = 0

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = C

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = - 1 x 2 + y 2 + C

Que perceba, só é verdade, se e somente se

x 2 + y 2 = c t e = c

Resposta

Y x , y = - 1 x 2 + y 2 + C

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