Enunciado

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

5 y - 2 x y ' - 2 y = 0

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos verificar se a equação 5 y - 2 x y ' - 2 y = 0 é exata

O primeiro passo é escrevermos ela no formato M x , y d x + N x , y d y = 0

Pra isso, vamos escrever y ' = d y d x

5 y - 2 x d y d x - 2 y = 0

Multiplicando tudo por d x :

5 y - 2 x d y - 2 y d x = 0

- 2 y d x + 5 y - 2 x d y = 0

Então, temos M x , y = - 2 y e N x , y = 5 y - 2 x

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ - 2 y ∂ y

Derivando M em relação a y :

∂ M ∂ y = - 2

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ ( 5 y - 2 x ) ∂ x

∂ N ∂ x = - 2

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = - 2

Logo, nossa equação é exata ;) agora bora resolver

Passo 4

Temos

- 2 y d x + 5 y - 2 x d y = 0

Com M x , y = - 2 y e N x , y = 5 y - 2 x

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = - 2 y

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ - 2 y   d x + g ( y )

Como y é uma constante, temos ∫ - 2 y   d x = - 2 y . x + C :

f = - 2 y . x + g y     ( I )

Passo 5

Temos

f = - 2 y . x + g y     ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = - 2 x + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = - 2 x + 5 y :

∂ f ∂ y = - 2 x + g ' ( y ) = - 2 x + 5 y

Então:

g ' y = 5 y

Integrando em relação a y :

g y = 5 y 2 2   ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = - 2 y . x + 5 y 2 2

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

- 2 y . x + 5 y 2 2 = c

Resposta

É   e x a t a

- 2 y . x + 5 y 2 2 = c

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