Enunciado

Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução

y e x y cos ⁡ 2 x - 2 e x y s e n   2 x + 2 x + x e x y cos ⁡ 2 x - 3 y ' = 0

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

x e x y cos ⁡ 2 x - 3 d y = - ( y e x y cos ⁡ 2 x - 2 e x y s e n   2 x + 2 x ) d x

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

y e x y cos ⁡ 2 x - 2 e x y s e n   2 x + 2 x d x + x e x y cos ⁡ 2 x - 3 d y = 0

Assim temos que

d d y y e x y cos ⁡ 2 x - 2 e x y s e n   2 x + 2 x - d d x x e x y cos ⁡ 2 x - 3

= e x y + x y e x y cos ⁡ 2 x - 2 x e x y s e n   2 x - ( e x y cos ⁡ 2 x + x y e x y cos ⁡ 2 x - 2 x e x y s e n   2 x = 0

E nossa solução é exata. Mas se já ta complicado neste ponto, acho que podemos piorar

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = ( y e x y cos ⁡ 2 x - 2 e x y s e n   2 x + 2 x )

E

d d y Y x , y = ( x e x y cos ⁡ 2 x - 3 )

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ y e x y cos ⁡ 2 x - 2 e x y s e n   2 x + 2 x d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo? É nada ... mas como lembramos de nossas aulas de cálculo 1, e integrando por partes (u dv), temos

Y x , y = x 2 + e x y + C ( y )

Se derivarmos, deveríamos obter ( x e x y cos ⁡ 2 x - 3 ) , ou seja

d d y Y x , y = d d y x 2 + e x y + C ( y )

= x e x y + C ' y = ( ( x e x y cos ⁡ 2 x - 3 )

Com

C ' y = x e x y cos ⁡ 2 x - 1 - 3

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = - 2 e x y s e n 2 x - 3 y + C = - e x y 1 - cos ⁡ 2 x - 3 y + C

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = x 2 + e x y - e x y + e x y cos ⁡ 2 x - 3 y + C

Resposta

Y x , y = e x y cos ⁡ 2 x + x 2 - 3 y + C

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