Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente

∫ 0 5 w w - 2 d w  

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema, o enunciado nos da essa integralzinha aqui:

∫ 0 5 w w - 2 d w  

Temos que responder se ela é convergente ou divergente e se ela for convergente temos que calcula-la!

Não tem infinito nos limites de integração, então de cara podemos descartar a possibilidade dela ser integral imprópria do tipo 1. Vamos investigar seu domínio então. Devemos ter:

w - 2 ≠ 0

w ≠ 2

A integração vai de x = 5 até x = 0 , então a função não é contínua dentro do limite de integração. Ela vai ser uma integral imprórpeia do tipo 2!

Nesse caso podemos dividir a integral da seguinte forma:

∫ 0 5 w w - 2 d w   =   ∫ 0 2   w w - 2   d w +   ∫ 2 5   w w - 2   d w

Agora temos duas integrais, uma com descontinuidade no limite superior e outra no inferior. Por definição temos que:

∫ a b f ( x ) d x = lim t → b - ⁡ ∫ a t f ( x ) d x

Para descontinuidades no limite superior. Quando a descontinuidade é no limite inferior temos:

∫ a b f ( x ) d x = lim t → a + ⁡ ∫ t b f ( x ) d x

Então: ∫ 0 5 w w - 2 d w   =   lim t → 2 - ⁡ ∫ 0 t w w - 2 d w +   lim t → 2 + ⁡ ∫ t 5 w w - 2 d w

Passo 2

Vamos calcular a integral:

∫ w w - 2 d w  

Podemos resolver usando integral por substituição, fazendo:

u = w - 2

d u d w = 1 → d w = d u

Substituindo:

∫ w w - 2 d w = ∫ u + 2 u d u  

Podemos separar essa integral, fazendo:

∫ u + 2 u d u = ∫ 1 + 2 u   d u

Integrando:

∫ 1 + 2 u   d u = u + 2 ln ⁡ | u | + C

Voltando a variável original:

∫ w w - 2 d w = ( w - 2 ) + 2 ln ⁡ | w - 2 | + C

Passo 3

Agora vamos aplicar o limite de integração para a primeira integral:

∫ w w - 2 d w = ( w - 2 ) + 2 ln ⁡ | w - 2 | + C

lim t → 2 - ⁡ ∫ 0 t w w - 2 d w = l i m t → 2 - ( w - 2 ) + 2 ln ⁡ | w - 2 | 0 t

l i m t → 2 - ( w - 2 ) + 2 ln ⁡ | w - 2 | 0 t = l i m t → 2 - t - 2 + 2 ln ⁡ t - 2 - ( - 2 ) + 2 ln ⁡ | - 2 |

= l i m t → 2 - t - 2 + 2 ln ⁡ t - 2 + 2 + 2 ln ⁡ 2

= l i m t → 2 - 2 ln ⁡ 0 + 2 + 2 ln ⁡ 2

O problema aqui é que ln ⁡ 0 é indefinido, isso significa que o limite não pode ser calculado. Portanto a nossa integral é divergente!

Resposta

∫ 0 5 w w - 2 d w   diverge

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