Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente

∫ 2 ∞ y   e - 3 y d y  

Passo 1

O enunciado pede pra a gente determinar se a integral abaixo é convergente ou divergente:

∫ 2 ∞ y   e - 3 y d y  

Olhando pros limites de integração e vendo aquele ali, sabemos que a nossa integral é imprópria! Nesse caso fazemos:

∫ 2 ∞ y   e - 3 y d y   =   lim h → ∞ ⁡   ∫ 2 h y   e - 3 y d y    

Passo 2

Agora vamos resolver a seguinte integral:

∫ 2 h y   e - 3 y d y    

Usando integração por partes, temos que u = y ⇒ d u = d y  

u = y

d u = 1

d v =   e - 3 y d y

v =   - e - 3 y 3  

Substituindo:

∫ 2 h y   e - 3 y d y   = - y e - 3 y 3 ​ 2 h + ∫ 2 h e - 3 y 3   d y  

Temos que resolver a integral:

∫ 2 h e - 3 y 3   d y   =   - 1 9 e - 3 y 2 h  

Juntando tudo :

∫ 2 ∞ y   e - 3 y d y   = l i m h → ∞   - y e - 3 y 3 2 h +   - 1 9 e - 3 y 2 h

Aplicando os limites de integração:

∫ 2 ∞ y   e - 3 y d y   = l i m h → ∞   - 2 3 e - 6 + 2 3 e - 3 y +   - 1 9 e - 3 y 2 h

��� 2 ∞ y   e - 3 y d y   =     - 2 3 e - 6 +   l i m h → ∞     2 3 e - 3 y + 1 9   e - 6 - l i m h → ∞   1 9     e - 3 h

Passo 3

Por propriedade de limite:

- 2 3 e - 6 +   l i m h → ∞     2 3 e - 3 y + 1 9   e - 6 - l i m h → ∞   1 9     e - 3 h =     - 2 3 e - 6 - 1     9     e - 6 = - 7 9     e - 6

Então a nossa integral converge para - 7 9     e - 6 !

Resposta

Converge para - 7 9     e - 6

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫