Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ - ∞ π / 2 s e n   2 θ   d θ

Passo 1

Fala aí! como vai?

Queremos saber se a integral imprópria converge ou diverge. O primeiro passo é escrever

∫ - ∞ π / 2 s e n   2 θ   d θ = lim t → ∞ ⁡ ∫ - t π / 2 s e n   2 θ   d θ

Com isso, primeiro calculamos a integral e depois tomamos o limite!

Veja só!

Passo 2

Para calcular a integral, você precisa lembrar que a primitiva do seno é menos cosseno:

∫ s e n   2 θ   d θ = - 1 2 cos ⁡ 2 θ

Tive que colocar o fator 1 / 2 na frente por causa da regra da cadeia quando derivamos cos ⁡ 2 θ . Com isso, temos que

∫ - t π / 2 s e n   2 θ   d θ = - 1 2 cos ⁡ 2 θ - t π / 2

Logo,

∫ - t π / 2 s e n   2 θ   d θ = - 1 2 cos ⁡ π + 1 2 cos ⁡ - 2 t

Como o cosseno é uma função par, cos ⁡ - 2 t = cos ⁡ 2 t . Desta forma,

∫ - t π / 2 s e n   2 θ   d θ = 1 2 cos ⁡ 2 t + 1 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora nós tomamos o limite fazendo t → ∞ . Mas observe que

lim t → ∞ ⁡ cos ⁡ 2 t = n ã o     e x i s t e

O limite não existe pois o cosseno fica oscilando loucamente entre - 1 e 1 e não tende a nenhuma valor quando seu argumento tende ao infinito.

Como o limite não existe, a integral imprópria é divergente!

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

A integral diverge.

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