Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ - ∞ + ∞ x 3 e - x 4   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.

Para calcular essa integral, devemos separar a integral em duas pois ambos os limites de integração são infinitos:

∫ - ∞ + ∞ x 3 e - x 4   d x = ∫ - ∞ 0 x 3 e - x 4   d x + ∫ 0 + ∞ x 3 e - x 4   d x

A integral será convergente se ambas essas integrais forem!

Passo 2

Primeiro vamos procurar uma primitiva para a função x 3 e - x 4 . Fazendo u = - x 4 , segue que d u = - 4 x 3   d x , assim

∫ x e - x 2 d x = - 1 4 ∫ e u d u = - 1 4 e u

Desta forma,

∫ x 3 e - x 4 d x = - 1 4 e - x 4

Passo 3

Agora vamos nos preocupar com as integrais impróprias. A primeira será

∫ - ∞ 0 x 3 e - x 4   d x

= lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 x 3 e - x 4 d x

= lim t → - ∞ ⁡ - 1 4 e - x 4 t 0

= lim t → - ∞ ⁡ 1 4 e - t 4 - 1 4 = - 1 4

Analogamente,

∫ 0 t x 3   e - x 4   d x

= lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x 3 e - x 4 d x

= lim t → ∞ ⁡ - 1 4 e - x 4 0 t

= lim t → - ∞ ⁡ - 1 4 e - t 4 + 1 4

= + 1 4

Como as duas integrais são convergentes, temos que

∫ - ∞ + ∞ x 3 e - x 4   d x = ∫ - ∞ 0 x 3 e - x 4   d x + ∫ 0 + ∞ x 3 e - x 4   d x = - 1 4 + 1 4 = 0

Converge.

Resposta

0

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