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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ - ∞ + ∞ x 2 9 + x 6   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.

Para calcular essa integral, devemos separar a integral em duas pois ambos os limites de integração são infinitos:

∫ - ∞ + ∞ x 2 9 + x 6   d x = ∫ - ∞ 0 x 2 9 + x 6   d x + ∫ 0 + ∞ x 2 9 + x 6   d x

A integral será convergente se ambas essas integrais forem, então temos que tentar calcular elas separadamente.

Passo 2

Para verificar se as integrais convergem, vamos primeiro achar a primitiva usando u = x 3 , assim d u = 3 x 2 d x :

∫ x 2 9 + x 6   d x = 1 3 ∫ 1 9 + u 2   d u

Agora vamos fazer u = 3 t ⇒ d u = 3   d t . Portanto,

∫ x 2 9 + x 6   d x = ∫ 1 9 + 9 t 2   d t = 1 9 ∫ 1 1 + t 2 d t = 1 9 a r c t g   t

Voltando a variável original:

∫ x 2 9 + x 6   d x = 1 9 a r c t g   u 3 = 1 9 a r c t g   x 3 3

Passo 3

Agora vamos nos preocupar com as integrais impróprias. A primeira será

∫ - ∞ 0 x 2 9 + x 6   d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 x 2 9 + x 6   d x = lim t → - ∞ ⁡ - 1 9 a r c t g   t 3 3 = - 1 9 - π 2 = π 18

Analogamente,

∫ 0 ∞ x 2 9 + x 6   d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x 2 9 + x 6   d x = lim t → ∞ ⁡ 1 9 a r c t g   t 3 3 = π 18

Como as duas integrais são convergentes, temos que

∫ - ∞ + ∞ x 2 9 + x 6   d x = ∫ - ∞ 0 x 2 9 + x 6   d x + ∫ 0 + ∞ x 2 9 + x 6   d x = π 18 + π 18 = π 9

Resposta

∫ - ∞ + ∞ x 2 9 + x 6   d x =   π 9

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