Ache o comprimento da curva.

x = y^4 / 8 + 1 / (4y^2) 1 <= y <= 2

Passo 1

Devemos calcular o comprimento da curva no intervalo dado. Como nos foi dado x como função de y , a expressão que usaremos é

L = ∫ a b 1 + x ' 2   d y

Derivando x com relação a y :

x ' = 4 y 3 8 - 2 ⋅ 1 4 y 3 = 1 2 y 3 - 1 2 y 3

Assim,

1 + x ' 2 = 1 + 1 4 y 6 - 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 2 + 1 4 y 6 = 1 2 + y 6 4 + 1 4 y 6

Fazendo o mmc com os denominadores:

1 + x ' 2 = 2 y 6 + y 12 + 1 4 y 6 = y 6 + 1 2 4 y 6

Portanto,

1 + x ' 2 = y 6 + 1 2 y 3 = y 3 2 + 1 2 y 3

Passo 2

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = ∫ 1 2 y 3 2 + 1 2 y 3   d y = y 4 8 - 1 4 y 2 1 2

Substituindo os limites de integração:

L = 16 8 - 1 16 - 1 8 - 1 4 = 32 16 - 1 16 + 1 8 = 32 - 1 + 2 16

Assim,

L = 33 16

Resposta

33 16

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