Ache o comprimento da curva.

x = 1/3 \* raiz(y) \* (y - 3), 1 <= y <= 9

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento da curva x = 1 3 y   ( y - 3 ) , no intervalo 1 ≤ y ≤ 9 .

Pra isso, precisamos lembrar da fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + x ' 2   d y

Onde x ' é a derivada da nossa função e [ a ,   b ] é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a função na forma:

x = 1 3 y 3 2 - 3 y 1 2

Assim, derivando, usando a regrinha da potência, temos:

x ' = 1 3 3 2 y 1 2 - 3 ⋅ 1 2 y - 1 2

x ' = 1 2 y - 1 2 y

Elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , vamos ter:

1 + x ' 2 = 1 + 1 2 y - 1 2 y 2

Expandindo o produto notável dos parênteses:

= 1 + 1 4 y - 2 ⋅ 1 2 y ⋅ 1 2 y + y 4

Simplificando:

= y 4 + 1 2 + 1 4 y

E fatorando, ficamos com:

= y 2 + 1 2 y 2

É isso que nós vamos colocar no nosso integrando, porque é igual a 1 + x ' 2 , sacou?

Passo 3

Então, usando a fórmula do comprimento de arco, no intervalo [ 1 ,   9 ] , com o integrando que encontramos no passo anterior, vamos ter:

L = ∫ 1 9 y 2 + 1 2 y 2   d y

Dá pra simplificar esse quadrado com a raiz e ficar com:

= ∫ 1 9 y 2 + 1 2 y   d y

Colocando 1 2 em evidência e jogando pra fora da integral:

= 1 2 ∫ 1 9 y 1 2 + y - 1 2 d y

Assim, integrando em relação a y , vamos ter:

L = 1 2   2 3 y 3 2 + 2 y 1 2 1 9

L = 1 3 y 3 + y 1 9

E aplicando os limites de integração, temos:

L = 1 3 3 3 + 3 - 1 3 - 1

L = 32 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

32 3

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