Enunciado

Ache o comprimento da curva.

x = (1)/(3) sqrt(y) ( y - 3 ) , 1 <= y <= 9

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento da curva x = (1)/(3) sqrt(y) ( y - 3 ) , no intervalo 1 <= y <= 9 .

Pra isso, precisamos lembrar da fórmula do comprimento de arco:

L = int_a^b sqrt(1 + (x^')^2) d y

Onde x^' é a derivada da nossa função e [ a , b ] é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a função na forma:

x = (1)/(3) (y^((3)/(2)) - 3 y^((1)/(2)))

Assim, derivando, usando a regrinha da potência, temos:

x^' = (1)/(3) ((3)/(2) y^((1)/(2)) - 3 * (1)/(2) y^(- (1)/(2)))

x^' = (1)/(2) sqrt(y) - (1)/(2 sqrt(y))

Elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , vamos ter:

1 + (x^')^2 = 1 + ((1)/(2) sqrt(y) - (1)/(2 sqrt(y)))^2

Expandindo o produto notável dos parênteses:

= 1 + [(1)/(4) y - 2 * ((1)/(2) sqrt(y)) * ((1)/(2 sqrt(y))) + (y)/(4)]

Simplificando:

= (y)/(4) + (1)/(2) + (1)/(4 y)

E fatorando, ficamos com:

= ((sqrt(y))/(2) + (1)/(2 sqrt(y)))^2

É isso que nós vamos colocar no nosso integrando, porque é igual a 1 + (x^')^2 , sacou?

Passo 3

Então, usando a fórmula do comprimento de arco, no intervalo [ 1 , 9 ] , com o integrando que encontramos no passo anterior, vamos ter:

L = int_1^9 sqrt(((sqrt(y))/(2) + (1)/(2 sqrt(y)))^2) d y

Dá pra simplificar esse quadrado com a raiz e ficar com:

= int_1^9 ((sqrt(y))/(2) + (1)/(2 sqrt(y))) d y

Colocando (1)/(2) em evidência e jogando pra fora da integral:

= (1)/(2) int_1^9 (y^((1)/(2)) + y^(- (1)/(2))) d y

Assim, integrando em relação a y , vamos ter:

L = (1)/(2) [(2)/(3) y^((3)/(2)) + 2 y^((1)/(2))]_1^9

L = [(1)/(3) (sqrt(y))^3 + sqrt(y)]_1^9

E aplicando os limites de integração, temos:

L = (1)/(3) 3^3 + 3 - (1)/(3) - 1

L = (32)/(3)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(32)/(3)

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Ache o comprimento do arco da curva y = 2 3 x - 5 3 / 2 do ponto onde x = 6 ao ponto onde x = 8 .
Ache o comprimento do arco da curva 6 x y = y 4 + 3 do ponto onde y = 1 ao ponto onde y = 2 .
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