Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ - ∞ 0 1 2 x - 5 d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1:

∫ - ∞ 0 1 2 x - 5 d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 1 2 x - 5 d x

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma expressão com x no denominador, podemos tentar fazer com que u seja essa expressão, assim:

u = 2 x - 5

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 - 0   d x = 2   d x →   d x = d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 2 x - 5 d x = ∫ 1 2 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Vamos aplicar:

∫ 1 2 x - 5 d x = ∫ 1 2 u d u = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 1 2 x - 5 d x = 1 2 ln ⁡ u + C = 1 2 ln ⁡ 2 x - 5 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ - ∞ 0 1 2 x - 5 d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 1 2 x - 5 d x = lim t → - ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 2 x - 5 t 0 = lim t → - ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 2.0 - 5 - 1 2 ln ⁡ 2 t - 5 = lim t → - ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 5 - 1 2 ln ⁡ 2 t - 5 = - ∞

A integral diverge, pois o limite não existe.

Resposta

A integral diverge.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ π / 4 π / 2 sec ⁡ θd θ
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ 0 π / 2 tan ⁡ θd θ
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ 2 ∞ 1 x x 2 - 4d x
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ 0 ∞ ln ⁡ xd x
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ 0 4 1 x 2 - 2 x - 3d x