Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D é delimitada pela parábola x = y 2 e pela reta y = x - 2 ; ρ x , y = 3 .

Passo 1

Vamos utilizar para esse exercício as relações dadas no capítulo para o cálculo de centro de massa e da massa, que são

m = ∫ ∫ D ρ x , y ⋅ d A

x - = M x m = 1 m ⋅ ∫ ∫ D x ⋅ ρ x , y ⋅ d A

y - = M y m = 1 m ⋅ ∫ ∫ D y ⋅ ρ x , y ⋅ d A

Passo 2

Vamos começar calculando a massa da nossa lâmina. Iremos manter y fixo e variar x . Igualando as duas equações para encontrar os pontos onde se interceptam, chegaremos na seguinte equação de segundo grau:

y 2 - y - 2 = 0

Resolvendo-a, temos que

y = 1 ± 1 + 8 2 = 1 ± 3 2 → y 1 = 2   e   y 2 = - 1

Assim, chegamos que nossos limites para a integração serão

- 1 ≤ y ≤ 2

y 2 ≤ x ≤ y + 2

Usando agora nossa integral dupla para calcular a massa, temos que

m = ∫ ∫ D ρ x , y ⋅ d A = ∫ - 1 2 ∫ y 2 y + 2 3 ⋅ d x ⋅ d y = 3 ⋅ ∫ - 1 2 x y 2 y + 2 ⋅ d y =

= 3 ⋅ ∫ - 1 2 y + 2 - y 2 ⋅ d y = 3 ⋅ ∫ - 1 2 y ⋅ d y + 2 ⋅ ∫ - 1 2 d y - ∫ - 1 2 y 2 ⋅ d y =

= 3 ⋅ 1 2 ⋅ y 2 - 1 2 + 2 ⋅ y - 1 2 - 1 3 ⋅ y 3 - 1 2 =

= 3 ⋅ 1 2 ⋅ 4 - 1 + 2 ⋅ 2 + 1 - 1 3 ⋅ 8 + 1 = 3 ⋅ 3 2 + 6 - 3 = 27 2  

Passo 3

Agora vamos calcular a posição do x do centro de massa. Usando a equação dada, temos que

x - = 1 m ⋅ ∫ - 1 2 ∫ y 2 y + 2 x ⋅ 3 ⋅ d x ⋅ d y = 1 m ⋅ 3 2 ⋅ ∫ - 1 2 x 2 y 2 y + 2 ⋅ d y =

= 3 2 ⋅ m ⋅ ∫ - 1 2 y 2 ⋅ d y + 4 ⋅ ∫ - 1 2 d y + 4 ⋅ ∫ - 1 2 y ⋅ d y - ∫ - 1 2 y 4 ⋅ d y =

= 3 2 ⋅ m ⋅ 1 3 ⋅ y 3 - 1 2 + 4 ⋅ y - 1 2 + 4 2 ⋅ y 2 - 1 2 - 1 5 ⋅ y 5 - 1 2 =

= 3 2 ⋅ 27 2 ⋅ 1 3 ⋅ 8 + 1 + 4 ⋅ 2 + 1 + 2 ⋅ 4 - 1 - 1 5 ⋅ ( 32 + 1 ) = 1 9 ⋅ 3 + 12 + 6 - 33 5 =

= 1 9 ⋅ 21 - 33 5 = 1 9 ⋅ 105 5 - 33 5 = 1 9 ⋅ 72 5 = 8 5

Passo 4

Para o centro de massa de y , teremos o mesmo processo

y - = 1 m ⋅ ∫ - 1 2 ∫ y 2 y + 2 y ⋅ 3 ⋅ d x ⋅ d y = 3 m ⋅ ∫ - 1 2 y ⋅ x y 2 y + 2 ⋅ d y =

3 m ⋅ y ⋅ ∫ - 1 2 y ⋅ d y + 2 ⋅ ∫ - 1 2 d y - ∫ - 1 2 y 2 ⋅ d y =

= 3 m ⋅ ∫ - 1 2 y 2 ⋅ d y + 2 ⋅ ∫ - 1 2 y ⋅ d y - ∫ - 1 2 y 3 ⋅ d y =

= 3 27 2 ⋅ 1 3 ⋅ y 3 - 1 2 + y 2 - 1 2 - 1 4 ⋅ y 4 - 1 2 =

= 2 9 ⋅ 1 3 ⋅ 8 + 1 + 4 - 1 - 1 4 ⋅ 16 - 1 = 2 9 ⋅ 3 + 3 - 15 4 = 2 9 ⋅ 24 4 - 15 4 = 2 9 ⋅ 9 4 = 1 2

Resposta

m = 27 2

x - = 8 5

y - = 1 2

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