Enunciado

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F x , y = l n ( 2 y + 3 z )   i + l n ⁡ ( x + 3 z ) j + l n ⁡ ( x + 2 y )   k

Passo 1

Bom, pessoal, na letra (a) queremos achar o rotacional do campo vetorial dado. Mas o que é rotacional?

Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial em R 3 e as derivadas parciais de P ,   Q   e   R existem, então o rotacional de F é o campo vetorial em R 3 dado por:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Assim, para essa questão vamos primeiro calcular as derivadas parciais!

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y l n ( 2 y + 3 z )   = 2 2 y + 3 z

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z l n ( 2 y + 3 z )   = 3 2 y + 3 z

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x l n ⁡ ( x + 3 z ) = 1 x + 3 z

∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z l n ⁡ ( x + 3 z ) = 3 x + 3 z

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y l n ⁡ ( x + 2 y ) = 2 x + 2 y

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x l n ⁡ ( x + 2 y ) = 1 x + 2 y

Calculando o rotacional do campo vetorial:

r o t   F = 2 x + 2 y - 3 x + 3 z i + 3 2 y + 3 z - 1 x + 2 y j + 1 x + 3 z - 2 2 y + 3 z k

Resposta

O rotacional é:

r o t   F = 2 x + 2 y - 3 x + 3 z i + 3 2 y + 3 z - 1 x + 2 y j + 1 x + 3 z - 2 2 y + 3 z k

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