Enunciado

Determine o campo vetorial gradiente f .

f (x , y) = x e^(x y)

Passo 1

Para determinarmos o campo vetorial, devemos tomar o gradiente da função f , ou seja,

vec F = grad f

Lembrando que o gradiente de uma função é definido por um vetor, cujas as componentes são as derivadas parciais em cada direção, ou seja

vec F = ((del f)/(d x) , (del f)/(d y))

Passo 2

Vamos tomar inicialmente a derivada de f na direção x .

(del f)/(d x) = (del (x e^(x y)))/(d x) = e^(x y) + y x e^(x y) = e^(x y) * ( 1 + x y )

E na direção y temos

(del f)/(d y) = (del (x e^(x y)))/(d y) = 0 + x^2 e^(x y) = x^2 e^(x y)

Desta forma escrevemos que

vec F = (e^(x y) * (1 + x y) , x^2 e^(x y)) = e^(x y) (1 + x y , x^2)

Passo 3

Uma representação do campo é dada pela figura a cima.

Resposta

vec F = (e^(x y) * (1 + x y) , x^2 e^(x y)) = e^(x y) (1 + x y , x^2)

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