Enunciado

Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f

F → x , y = e x s e n y i → + e x s e n y j →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Primeiro de tudo, vamos verificar que esse campo é conservativo. Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ e x s e n y ∂ y = e x ∂ s e n y ∂ y = e x c o s ⁡ ( y )

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ e x sin ⁡ y ∂ x = sin ⁡ y ∂ e x ∂ x = e x sin ⁡ y

Passo 2

Como as derivadas parciais cruzadas deram um valor diferente, concluímos que esse campo não é conservativo e portando não tem um potencial associado a ele!

Resposta

n ã o   é   c o n s e r v a t i v o

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Seja r → = xi → + yj → +zk → e r = | r | . Verifique as identidades: ∇ r = r → / r ∇ × r → = 0 ∇ 1 r = - r → / r 3 ∇ ln ⁡ r = r → / r 2
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão
Seja r → = xi → + yj → +zk → e r = | r | . Verifique as identidades: ∇ ⋅ r → = 3 ∇ ⋅ r r → = 4 r ∇ 2 r 3 = 12 r
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão