Enunciado

Determine o centro de massa do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , z ≥ 0 , se ele tiver densidade constante.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra calcular o centro de massa, devemos calcular 4 integrais: M x z , M y z ,   M x y e m . Vamos por partes?

Passo 2

Por simetria, podemos dizer que M y z = M x z = 0 , pois é um hemisfério. Só os resta calcular M x y e m . Começando por m:

m = ∬ S K d S

Como é uma metade de esfera, a área vai ser metade de 4 π a 2 :

m = K . 4 π a 2 2 = 2 π K a 2

Passo 3

Legal! O próximo passo é calcular M x z . Pela fórmula temos:

M x z = ∬ S z K d S m = 1 2 π K a 2 . ∬ S z K d S

Usando coordenadas esféricas o valor de ∬ S z K d S :

∬ S z K d S = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 a c o s ϕ a 2 s e n ϕ d ϕ d θ = 2 π . K a 3 ∫ 0 π / 2 c o s ϕ s e n ϕ d ϕ = 2 π . K a 3 - 1 4 cos ⁡ 2 ϕ 0 π / 2 = π K a 3

E agora podemos calcular M x z :

M x z = π K a 3 2 π K a 2 = a 2

Passo 4

Agora podemos juntar todas as informações e determinar o centro de massa:

x - , y - , z - = 0,0 , a 2

Resposta

0,0 , a 2

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