Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 37
a) Determine o centroide de um cone circular reto com altura h e base com raio a. (Coloque o cone de forma que a base esteja sobre o plano com o centro na origem e seu eixo esteja sobre o eixo z.)
(b) Encontre o momento de inércia do cone em relação a seu eixo (o eixo )
Passo 1
Antes de mais nada, vamos tentar lembrar como descrever a função que descreve o cone em nosso espaço euclidiano.
Um cone é dado por
Passo 2
- Como o cone tem altura e base , vamos analisar da seguinte forma:
- O momento de inércia é dado por
Quando estamos mais próximo da origem, e quando nos afastamos, , desta forma podemos supor fazer
Onde queremos determinar quem são nossos e .
Logo teremos que
Logo
Ficando com
Reescrevendo nossa equação ficamos com
com
Como estamos tentando determinar o centroide, temos que pôr simetria, , ficando apenas apara determinarmos .
Por definição
Usando coordenadas cilíndricas
Temos que nossa integral de cima se transforma da seguinte forma:
Onde é a densidade do cone e é o jacobiano, que em coordenadas cilíndricas é dado da mesma forma que em coordenadas polares, ou seja, . Além disso temos que , e
Assim ficamos com
Abrindo os termos nos parênteses e fazendo a distributiva, temos
como e então temos que
Passo 3
Seguindo a mesma transformação em coordenadas cilíndricas, ficamos com
Os intervalos são os mesmos sugeridos no item (b)
Sendo assim temos
Lembrando que
Logo
Resposta
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