Enunciado

Determine os momentos de inércia do tijolo retangular de dimensões a , b e c , massa M e densidade constante se o centro do tijolo está na origem e suas arestas são paralelas aos eixos coordenados

Passo 1

Nosso primeiro passo é delimitar o nosso sólido. Como ele possui o centro na origem, então, os seus limites são:

- a 2 ≤ x ≤ a 2

- b 2 ≤ y ≤ b 2

- c 2 ≤ z ≤ c 2

Pronto, agora já sabemos os limites de integração do nosso problema. Por fim, como queremos calcular os momentos de inércia do tijolo, precisamos relembrar a fórmula para calcular cada um dos momentos. Elas são dadas por:

I x = ∭ E y 2 + z 2 ρ x , y , z d V

I y = ∭ E x 2 + z 2 ρ x , y , z d V

I y = ∭ E x 2 + y 2 ρ x , y , z ρ x , y , z d V

E como a densidade é constante, podemos retira-la da integral. Além disto, podemos relacionar a densidade com a massa M da seguinte forma:

M = ∭ E ρ x , y , z d V = ρ ∭ E d V = ρ a b c

ρ = M a b c

Pronto, agora podemos partir para as contas.

Passo 2

Vamos calcular primeiramente o momento I x . Portanto,

I x = ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 ∫ - a / 2 a / 2 y 2 + z 2 ρ x , y , z d x d y d z

I x = ρ ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 y 2 + z 2 ⋅ x - a 2 a 2 d y d z

I x = M a b c ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 a y 2 + z 2 d y d z = M a b c ⋅ a ∫ - c / 2 c / 2 y 3 3 + z 2 y - b 2 b 2 d z

I x = M a b c ⋅ a ∫ - c / 2 c / 2 b 3 12 + z 2 b d z = M a b c ⋅ a b 3 12 z + z 3 b 3 - c 2 c 2 = M b 2 c 2 6

Passo 3

Já para o momento I y temos,

I y = ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 ∫ - a / 2 a / 2 x 2 + z 2 ρ x , y , z d x d y d z

I y = ρ ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 x 3 3 + z 2 x - a 2 a 2 d y d z

I y = M a b c ⋅ ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 a 3 12 + a z 2 d y d z = M a b c ⋅ ∫ - c / 2 c / 2 a 3 12 + a z 2 ⋅ y - b 2 b 2 d z

I y = M a b c ⋅ b ∫ - c / 2 c / 2 a 3 12 + a z 2 d z = M a b c ⋅ b a 3 12 z + z 3 a 3 - c 2 c 2 = M a 2 c 2 6

Passo 4

Por fim, para o momento I z temos,

I z = ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 ∫ - a / 2 a / 2 x 2 + y 2 ρ x , y , z d x d y d z

I z = ρ ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 x 3 3 + y 2 x - a 2 a 2 d y d z

I z = M a b c ⋅ ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 a 3 12 + a y 2 d y d z = M a b c ⋅ ∫ - c / 2 c / 2 a 3 y 12 + a y 3 3 - b 2 b 2 d z

I z = M a b c ⋅ ∫ - c / 2 c / 2 a 3 b 3 6 d z = a 3 b 3 6 ⋅ z - c 2 c 2 = M a 2 b 2 6

Resposta

I x = M b 2 c 2 6

I y = M a 2 c 2 6

I z = M a 2 b 2 6

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