Enunciado

Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

r t = t i + t 2 j + 3 t k

Passo 1

Show de bola, galera. Para calcularmos essas componentes, não tem mistério.

Precisamos calcular apenas dois vetores: r ' t e r ' ' t . Uma vez calculado isso, as contas sairão de maneira automática.

Para não restar mais dúvidas quanto a esses cálculos, vamos te dar um macete pra você saber qual fórmula usar para a aceleração tangencial e qual usar para a aceleração normal, beleza?

As fórmulas têm essa cara aqui:

a ? = r ' t   ?   r ' ' t r ' t

Deixamos aquelas interrogações de propósito mesmo! Só para nos confortarmos com a ideia de que as fórmulas têm aquela cara mesmo....Beleza? Agora atenção, lá vem o macete....

Vamos imaginar aquela “cruzinha” que simboliza o produto vetorial...Isso mesmo, é a × mesmo! Essa cruzinha não é formada por dois segmentos de reta que formam ângulos de 90 ° ?

Ou seja, esses segmentos de reta são normais entre si...Opa!!! Brotou a palavra normal, é isso mesmo?!?! Então, o macete é justamente esse!

Para a componente normal da aceleração, vamos usar a cruzinha do produto vetorial (e colocaremos um módulo no numerador):

a ? = r ' t   ?   r ' ' t r ' t →     ∴     a N = r ' t × r ' ' t r ' t

Já para a aceleração tangencial, usaremos o produto interno no lugar da interrogação:

a ? = r ' t   ?   r ' ' t r ' t →     ∴     a T = r ' t ⋅ r ' ' t r ' t

Shooow!!! Agora partiu fazer todas as contas!

Passo 2

Vamos calcular primeiro o vetor r ' t :

r ' t = d d t r t = 1 i + 2 t j + 3 k

Calculemos agora r ' t :

r ' t = 1 2 + 2 t 2 + 3 2 = 4 t 2 + 10 = 2 2 t 2 + 5

Vamos calcular agora o vetor r ' ' t :

r ' ' t = d d t r ' t = 2 j

Vamos calcular os seguintes produtos agora:

r ' t ⋅ r ' ' t = 2 t 2 = 4 t

r ' t × r ' ' t = 1 2 k - 3 2 i = 2 k - 6 i

Por último, só falta calcular:

r ' t × r ' ' t = 2 2 + - 6 2 = 40 = 2 10

Passo 3

Agora só falta aplicarmos as fórmulas para as componentes da aceleração:

a N = r ' t × r ' ' t r ' t = 2 10 2 2 t 2 + 5

a T = r ' t ⋅ r ' ' t r ' t = 4 t 2 2 t 2 + 5

Resposta

a N = 2 10 2 2 t 2 + 5   e   a T = 4 t 2 2 t 2 + 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A água, descendo por um trecho reto de um rio, em geral escoa mais rapidamente no meio e a velocidade escalar diminui para quase zero nas margens. Considere um trecho longo de rio escoando para o nort
Calcule os limites. lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t ² , t g - 1 t , 1 - e - 2 t t ²
Calcule os limites. lim t → ∞ ⁡ t e - t , t 3 + t 2 t 3 - 1 , ts e n 1 t
Determine o domínio das funções vetoriais. r t = 4 - t ² ,e - 3 t , ln ⁡ ( t + 1 ) ²
Calcule os limites. lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 i + t + 8j + s e nπ t ln ⁡ t k