Enunciado

Calcule os limites.

underset(t -> 1)(lim) ((t^2 - t)/(t - 1) i + sqrt(t + 8) j + (s e n pi t)/(ln t) k)

Passo 1

Para calcular o limite de uma função vetorial precisamos calcular o limite de cada componente.

Passo 2

Limite da componente i :

underset(t -> 1)(lim) (t^2 - t)/(t - 1) = underset(t -> 1)(lim) (t ( t - 1 ))/(t - 1) = underset(t -> 1)(lim) t = 1

Limite da componente j :

underset(t -> 1)(lim) sqrt(t + 8) = sqrt(9) = 3

Limite da componente k :

underset(t -> 1)(lim) (s e n pi t)/(ln t)

Se substituirmos t = 1 no numerador e no denominador temos que ambos vão para zero, então podemos utilizar a regra de L’Hôspital para calcular o limite. Derivando o numerador e o denominador:

underset(t -> 1)(lim) (pi c o s pi t)/(1 // t) = underset(t -> 1)(lim) pi t cos pi t = pi cos pi = - pi

Passo 3

Desta forma: underset(t -> 1)(lim) ((t^2 - t)/(t - 1) i + sqrt(t + 8) j + (s e n pi t)/(ln t) k) = ( 1 i + 3 j - pi k )

Resposta

underset(t -> 1)(lim) ((t^2 - t)/(t - 1) i + sqrt(t + 8) j + (s e n pi t)/(ln t) k) = ( 1 i + 3 j - pi k )

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