Enunciado

Calcule os limites.

underset(t -> oo)(lim) 〈t e^(- t) , (t^3 + t)/(2 t^3 - 1) , t s e n (1)/(t)〉

Passo 1

Para calcular o limite de uma função vetorial precisamos calcular o limite de cada componente.

Sendo que o primeiro termo corresponde a componente i , o segundo termo corresponde a componente j e o terceiro termo corresponde a componente k .

Passo 2

Limite da componente i :

underset(t -> oo)(lim) t e^(- t) = underset(t -> oo)(lim) (t)/(e^t)

Se substituirmos t = oo no numerador e no denominador temos que ambos vão para infinito, então podemos utilizar a regra de L’Hôspital para calcular o limite. Derivando o numerador e o denominador:

underset(t -> oo)(lim) (t)/(e^t) = underset(t -> oo)(lim) (1)/(e^t) = 0

Limite da componente j :

underset(t -> oo)(lim) (t^3 + t)/(2 t^3 - 1) = underset(t -> oo)(lim) (t ³ ( 1 + 1 // t ² ))/(t ³ ( 2 - 1 // t ³ )) = underset(t -> oo)(lim) (1 + 0)/(2 - 0) = (1)/(2)

Limite da componente k :

underset(t -> oo)(lim) t s e n (1)/(t) = underset(t -> oo)(lim) (s e n 1 // t)/(1 // t)

Se substituirmos t = oo no numerador e no denominador temos que ambos vão para zero, então podemos utilizar a regra de L’Hôspital para calcular o limite. Derivando o numerador e o denominador:

underset(t -> oo)(lim) (- (1)/(t^2) c o s 1 // t)/(- 1 // t ²) = underset(t -> oo)(lim) cos (1)/(t) = cos 0 = 1

Passo 3

Desta forma:

underset(t -> oo)(lim) 〈t e^(- t) , (t^3 + t)/(2 t^3 - 1) , t s e n (1)/(t)〉 = 〈0 , (1)/(2) , 1〉

Resposta

underset(t -> oo)(lim) 〈t e^(- t) , (t^3 + t)/(2 t^3 - 1) , t s e n (1)/(t)〉 = 〈0 , (1)/(2) , 1〉

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