Enunciado

A água, descendo por um trecho reto de um rio, em geral escoa mais rapidamente no meio e a velocidade escalar diminui para quase zero nas margens. Considere um trecho longo de rio escoando para o norte com as margens paralelas distando 40 m uma da outra. Se a velocidade escalar máxima da água é de 3 m/s, podemos usar uma função quadrática como modelo básico para encontra a taxa com que escoa água x unidades de distância da margem oeste:

f x = 3 400   x   ( 40 - x )

a) Um barco se move com uma velocidade escalar constante de 5 m/s a partir de um ponto A na margem oeste enquanto se mantém direcionado perpendicularmente à margem. A que distância rio abaixo, na margem oposta, o barco vai atingir a terra firme? Faça um gráfico para a trajetória do barco.

b) Suponha que quiséssemos pilotar o barco a fim de atracar em ponto B, diretamente oposto ao A, na margem leste. Se mantivermos a velocidade escalar constante de 5 m/s e uma direção constante, determine o ângulo no qual o barco deve ser conduzido. Depois, faça o gráfico do caminho real que o barco segue. Essa trajetória parece realista?

Passo 1

No ensino médio você já deve ter visto esse tipo de questão, a única diferença é que lá a velocidade da correnteza do rio era constante, aqui ela não é! Na modelagem do problema, precisamos definir algumas coisas: vamos começar colocando a direção sul-norte no eixo y (que aponta para o norte) e a direção oeste-leste no eixo x (apontando para leste). Além disso, vamos colocar o ponto de partida A como sendo a origem ( 0,0 ) do sistema de coordenadas. Daí basta escrever as componentes do vetor velocidade em cada caso e integrar para achar a posição.

É importante lembrar que a função f ( x ) nos dá a velocidade da correnteza do rio que aponta na direção do eixo y .

Passo 2

Neste passo vamos resolver o item (a).

Bom, neste caso, a velocidade do barco será constante igual a 5 m/s e na direção x , de modo que

v → b a r c o = 5   i

Já para a correnteza, teremos

v → a g u a = f x   j

Desta forma,

v → = v → b a r c o + v → a g u a = 5   i + f x   j

Assim, podemos escrever

d x d t = 5 d y d t = 3 400   x   ( 40 - x )

Da primeira equação, tiramos que x = 5 t + C . Como em t = 0 , temos x = 0 , segue que C = 0 . Assim, x = 5 t . Substituindo isso na segunda equação:

d y d t = 3 400 ⋅ 5 t ⋅ 40 - 5 t = 3 16   t   ( 8 - t )

Portanto,

d y d t = - 3 16 t 2 + 3 2 t

Integrando essa equação e usando que y t = 0 = 0 , obtemos que

y = - 1 16 t 3 + 3 4 t 2

Temos então que a trajetória, parametrizada pelo tempo, é

x = 5 t y = - t 3 16 + 3 4 t 2

O barco atinge a outra margem quando x = 40 , de modo que

40 = 5 t ⇒ t = 8

Assim, a coordenada y será

y = - 8 3 16 + 3 4 ⋅ 8 2 = - 32 + 192 4 = - 32 + 96 = 16

O barco atingirá a margem oposta a uma distância de 16   m rio abaixo. O gráfico da trajetória do barco é mostrado a seguir:

Passo 3

Neste passo vamos resolver o item (b):

Nesta situação, a velocidade do barco não estará na direção x . Se θ for o ângulo que o barco faz com a direção x (o mesmo ângulo das coordenadas polares) e este ângulo for constante, a velocidade do barco com relação ao rio será

v → b a r c o = 5 cos ⁡ θ   i + 5   s e n   θ   j

Assim,

v → = v → b a r c o + v → a g u a = 5 cos ⁡ θ   i + f x + 5   s e n   θ   j

Desta forma,

d x d t = 5 cos ⁡ θ d y d t = 3 400   x   40 - x + 5   s e n   θ

Integrando a primeira equação e usando que x t = 0 = 0 , obtemos

x = 5 cos ⁡ θ   t

Substituindo isso na segunda equação, temos que

d y d t = 3 16 cos ⁡ θ   t   8 - cos ⁡ θ   t + 5   s e n   θ = - 3 16 cos 2 ⁡ θ   t 2 + 3 2 cos ⁡ θ   t + 5   s e n   θ

Integrando com relação ao tempo e usando que para t = 0 , y = 0 :

y = - cos 2 ⁡ θ 16 t 3 + 3 4 cos ⁡ θ t 2 + 5   s e n   θ   t

Assim,

x = 5 cos ⁡ θ   t y = - cos 2 ⁡ θ 16 t 3 + 3 4 cos ⁡ θ t 2 + 5   s e n   θ   t

O barco atinge a margem oposta quando x = 40 , assim

t = 8 cos ⁡ θ

Substituindo isso na equação para y , temos que

y = - cos 2 ⁡ θ 16 ⋅ 8 3 cos 3 ⁡ θ + 3 4 cos ⁡ θ ⋅ 64 cos ⁡ θ + 5   s e n   θ ⋅ 8 cos ⁡ θ = 16 cos ⁡ θ + 40   s e n   θ cos ⁡ θ

Queremos que o barco atinja a margem oposta sem se deslocar na direção do rio, de modo que y = 0 . Assim, temos que

16 cos ⁡ θ + 40   s e n   θ cos ⁡ θ = 0 ⇒ s e n   θ = - 16 40 = - 4 10 = - 2 5

Portanto,

θ = a r c s e n   - 2 5 = - a r c s e n   2 5

A trajetória do barco é

Resposta

a )   16   m .

b) - a r c s e n   2 5 .

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