Enunciado

Mostre que a curvatura κ está relacionada com os vetores tangente e normal pela equação:

d T → d s = κ N →

Passo 1

Olá, tudo bem? A curvatura κ de uma curva é:

κ = d T → d s

Agora, pela regra da cadeia temos:

κ = d T → d s = d T → d t d s / d t

Passo 2

O vetor normal N → é dado por:

N → = d T → / d t | d T → / d t |

Então podemos isolar | d T → / d t | :

d T → d t = d T → / d t N →

Passo 3

Agora podemos substituir d T → d t do passo 2 na expressão para κ do passo 1 :

κ = d T → d t d s / d t = d T → / d t N → d s / d t = 1 N → d T → d t   . d t d s

κ = 1 N →   . d T → d s

Assim temos:

d T → d s = κ N →

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

d T → d s = κ N →

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-8, encontre o vetor tangente unitário da curva. Encontre também o comprimento da parte indicada da curva.
Nos Exercícios 1-8, encontre o vetor tangente unitário da curva. Encontre também o comprimento da parte indicada da curva.
Nos Exercícios 1-8, encontre o vetor tangente unitário da curva. Encontre também o comprimento da parte indicada da curva.
10. Encontre o ponto na curva unidades ao longo da curva a partir do ponto (0, -12, 0) na direção do comprimento de arco crescente.
Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 11-16 para r como uma função vetorial de t.Equação diferencial: d 2 r d t 2 = - 32 k Condição inicial: r 0 = 100 k e d r d t ​ t = 0 = 8 i + 8 j