Enunciado

Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são

y = ∫ - 2 x 3 t 4 - 1 d t

- 2 ≤ x ≤ - 1

Passo 1

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de x , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada da f x , que é a função do enunciado.

O intervalo é de x = - 2 até x = - 1 , vamos para a derivada.

f x = ∫ - 2 x 3 t 4 - 1 d t

Para derivar, vamos usar o teorema fundamental do cálculo, encontramos:

f ' x = 3 x 4 - 1

Passo 2

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

L = ∫ - 2 - 1 1 + 3 x 4 - 1 2 d x

O valor de 3 x 4 - 1 sempre vai ser positivo no intervalo de integração, podemos cortar aquele expoente ½ com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo

L = ∫ - 2 - 1 1 + 3 x 4 - 1 d x

L = ∫ - 2 - 1 3 x 4 d x

Cortando a raiz com o x 4

L = ∫ - 2 - 1 3 x 2 d x

Passo 3

Vamos resolver essa integral:

L = ∫ - 2 - 1 3 x 2 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ 3 x 2 d x = 3 ∫ x 2 d x = 3 x 3 3 + C

Passo 4

Voltando para a nossa integral definida:

L = ∫ - 2 - 1 3 x 2 d x = 3 x 3 3 - 2 - 1 =

3 - 1 3 3 - 3 - 2 3 3 =

- 3 3 - - 8 3 3 =

- 3 3 + 8 3 3 =

7 3 3

Passo 5

Segue o gráfico dessa função para enxergamos como ela é:

Resposta

7 3 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Passe a curva para coordenadas polares e desenhe-a:(x²+y²)² = x² - y²
Desenhe a curva a seguir utilizando coordenadas polares ρ ² = tg( θ ) , 0≤ θ π 2 ( ρ ≥ 0 )
Passe a curva dada para coordenadas polares e desenhe-a:x4 – y4 = 2xy
Desenhe a curva a seguir utilizando coordenadas polares ρ ² = t g ( 2 θ ) ² , 0 ≤θπ 4( p ≥ 0 )
Passe a curva para coordenadas polares e desenhe-a: x² + y² + x = ( x ² + y ² ) ² ²