Enunciado

Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são

y = 1 3 x 2 + 2 3 2

De x = 0 a x = 3

Passo 1

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de x , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada da f x , que é a função do enunciado.

O intervalo é de x = 0 até x = 3 , vamos para a derivada.

f x = 1 3 x 2 + 2 3 2

Para isso, temos que usar a regra da cadeia, vamos fazer

f x = g h x

Onde

h x = x 2 + 2

g x = 1 3 x 3 2

Assim, teremos:

f ' x = g ' h x h ' x

Achando a derivada de g

g ' x = 1 3 3 2 x 1 2 = 1 2 x 1 2

Logo:

f ' x = 1 2 h x 1 2 h ' x

Passo 2

Agora vamos derivadar h x

h x = x 2 + 2 → h ' x = 2 x

Vamos ter

f ' x = 1 2 x 2 + 2 1 2 2 x

f ' x = x x 2 + 2 1 2

Passo 3

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

L = ∫ 0 3 1 + x x 2 + 2 1 2 2 d x

Como x 2 + 2 é sempre positivo, podemos cortsar aquele expoente ½ com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo

L = ∫ 0 3 1 + x 2 x 2 + 2 d x

L = ∫ 0 3 x 4 + 2 x 2 + 1 d x

Aquele termo dentro da raiz vai ser um trinômio quadrado perfeito

x 4 + 2 x 2 + 1 = x 2 + 1 2

Po, temos que adivinah isso sempre? Não, mas fica aqui a dica. Quando estamos nessas questões de comprimento de arco, é muito comum aparecer trinômios quadrados perfeitos dentro dessa raiz quadrada, então sempre procure esses safadinho.

O comprimento vai ser:

L = ∫ 0 3 x 2 + 1 2 d x

Novamente, como x 2 + 1 é sempre positivo, podemos cortar a raiz com o quadrado e não colocar o módulo.

L = ∫ 0 3 x 2 + 1 d x

Passo 4

Vamos resolver essa integral:

L = ∫ 0 3 x 2 + 1 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ x 2 + 1 d x = x 3 3 + x + C

Passo 5

Voltando para a nossa integral definida:

L = ∫ 0 3 x 2 + 1 d x = x 3 3 + x 0 3 =

3 3 3 + 3 - 0 3 3 + 0 =

27 3 + 3 - 0

9 + 3

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Passo 6

Segue o gráfico dessa função para enxergamos como ela é:

Resposta

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