Enunciado

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo y

x = 5 y 2

x = 0

y = - 1

y = 1

Passo 1

A curva que ele deu é:

x = 5 y 2

Essa curva é uma parábola com eixo ao longo do eixo x . Aqui estamos trabalhando com funções em y porque vamos rotacionar ao redor do eixo y .

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a azul.

Entao a região vai de y = - 1 até y = 1 . Onde o raio do disco vai ser a função verde, lembrando que estamos pegando uma função de y :

r y = 5 y 2

O volume vai ser:

V = ∫ - 1 1 π 5 y 2 2 d y

V = ∫ - 1 1 5 π y 4 d y

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ - 1 1 5 π y 4 d y

V = 5 π ∫ - 1 1 y 4 d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ y 4 d y = y 5 5 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = 5 π ∫ - 1 1 y 4 d y = 5 π y 5 5 - 1 1 =

5 π 1 5 5 - 5 π - 1 5 5 =

5 π 5 - - 5 π 5

π + π

2 π

Resposta

2 π

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Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo x 2 + y 2 ≤ r 2 , y ≥ 0 , e cujas seções perpendiculares ao eixo x são triângulo equiláteros:
2.Calcule o volume do sólido cuja base é o quadrado de vértices ( 0,0 ) , ( 1,1 ) , ( 0,1 )e( 1,0 ) e cujas seções perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles de altura x - x 2
2.Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo 4 x 2 + y 2 ≤ 1 , y ≥ 0 , e cujas seções perpendiculares ao eixo x são semicírculos:
Ache o comprimento do arco da curva y = ln ⁡ c o s s e cxd ex = π 6 ax = π 2 .
Prove que lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0 por dois métodos. (a) Seja x = 1 t e use o resultado do E xercício 55 nos Exercícios 7.3.(b) Primeiro prove que ∫ 1 x 1 t d t ≥ ∫ 1 x 1 t d t aplicando o teorema 5