Sendo y = 2 / (x - 1) ache a) Delta y ; b) dy ; c) Delta y - d y .

Passo 1

a) Seja f x = 2 x - 1 , para achar Δ y (variação do y ) , vamos utilizar a fórmula:

Δ y = f x + Δ x - f ( x )

Δ y = 2 ( x + Δ x ) - 1 - 2 x - 1

= 2 x - 1 - 2 x + Δ x - 2 ( - 1 ) ( x + Δ x - 1 ) ( x - 1 )

= 2 x - 2 - 2 x - 2 Δ x + 2 ( x + Δ x - 1 ) ( x - 1 )

Δ y = - 2 Δ x ( x + Δ x - 1 ) ( x - 1 )

Passo 2

b) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' x Δ x onde x está no domínio de f ' e Δ x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f x =   2 x - 1 = 2 x - 1 - 1         →               f ' ( x ) = - 2 x - 1 - 1 - 1 = - 2 x - 1 2

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = - 2 x - 1 2 Δ x

Passo 3

c) Agora vamos usar os resultados: Δ y = - 2 Δ x ( x + Δ x - 1 ) ( x - 1 ) e d y = - 2 x - 1 2 Δ x .

Δ y - d y = - 2 Δ x x + Δ x - 1 x - 1 - - 2 x - 1 2 Δ x

Δ y - d y = - 2 Δ x x + Δ x - 1 x - 1 + 2 Δ x x - 1 2      

Agora vamos deixar no mesmo denominador.

Δ y - d y = - 2 Δ x x - 1 + 2 Δ x x + Δ x - 1 x + Δ x - 1 x - 1 2

= - 2 x Δ x + 2 Δ x + 2 x Δ x + 2 Δ x 2 - 2 Δ x x + Δ x - 1 x - 1 2

= 2 Δ x 2 x + Δ x - 1 x - 1 2

É o resultado procurado.

Resposta

  1. Δ y = - 2 Δ x ( x + Δ x - 1 ) ( x - 1 )
  2. d y = - 2 x - 1 2 Δ x
  3. Δ y - d y = 2 Δ x 2 x + Δ x - 1 x - 1 2
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados