Enunciado

Determine o cosseno do ângulo entre os planos x + y + z = 0 e x + 2 y + 3 z = 1 .

Passo 1

Olá, tudo bem? O ângulo entre dois planos é dado pela seguinte fórmula:

cos (theta) = (|vec v_1 * vec v_2|)/(|| vec v_1 || | | vec v_2 | |)

Onde |vec v_1 * vec v_2| é o módulo do produto escalar entre os vetores normais aos planos e || vec v_1 || e | | vec v_2 | | são as respectivas normas dos vetores.

Mas calma! Vamos calcular cada coisa de cada vez!

Vamos começar?

Vou começar por denominar os planos e seus respectivos vetores diretores:

pi_1 : x + y + z = 0 , e seu vetor: vec v_1 = ( 1 , 1,1 )

pi_2 : x + 2 y + 3 z = 1 , e seu vetor: vec v_2 = ( 1 , 2,3 )

Passo 2

Agora vou determinar a norma de cada vetor. Lembrando que norma de um vetor vec u de coordenadas ( a , b , c ) é

| | vec u | | = sqrt(a^2 + b^2 + c^2)

Então as normas vão ser:

  • vec v_1 :
  • ||vec v_1|| = sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(3)

  • vec v_2 :

||vec v_2|| = sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)

Passo 3

Agora vou determinar o produto escalar entre vec v_1 e vec v_2 :

|vec v_1 * vec v_2| = |(1,1 , 1) * (1,2 , 3)| = 1.1 + 1.2 + 1.3 = 6

Passo 4

Agora que sabemos de todos os valores, é só substituir lá na expressão do passo 1 para o cosseno entre dois vetores:

cos (theta) = (|vec v_1 * vec v_2|)/(|| vec v_1 || | | vec v_2 | |)

cos (theta) = (6)/(sqrt(3) sqrt(14)) = 0,92

Feito! O cosseno do ângulo é 0,92 .

Vamos pra próxima?

Resposta

0,92

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