Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Determine o cosseno do ângulo entre os planos x + y + z = 0 e x + 2 y + 3 z = 1 .

Passo 1

Olá, tudo bem? O ângulo entre dois planos é dado pela seguinte fórmula:

cos ⁡ θ = v → 1   ⋅ v → 2 | v → 1 | | | v → 2 | |

Onde v → 1   ⋅ v → 2 é o módulo do produto escalar entre os vetores normais aos planos e | v → 1 |   e   | | v → 2 | | são as respectivas normas dos vetores.

Mas calma! Vamos calcular cada coisa de cada vez!

Vamos começar?

Vou começar por denominar os planos e seus respectivos vetores diretores:

π 1 : x + y + z = 0 , e seu vetor: v → 1 =   ( 1 , 1,1 )

π 2 : x + 2 y + 3 z = 1 , e seu vetor: v → 2 =   ( 1 , 2,3 )

Passo 2

Agora vou determinar a norma de cada vetor. Lembrando que norma de um vetor u → de coordenadas ( a , b , c ) é

| | u → | | = a 2 + b 2 + c 2

Então as normas vão ser:

  • v → 1 :
  • v 1 → = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

  • v → 2 :

v 2 → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14

Passo 3

Agora vou determinar o produto escalar entre v → 1 e v → 2 :

v → 1   ⋅ v → 2 = 1,1 , 1 ⋅ 1,2 , 3 = 1.1 + 1.2 + 1.3 = 6

Passo 4

Agora que sabemos de todos os valores, é só substituir lá na expressão do passo 1 para o cosseno entre dois vetores:

cos ⁡ θ = v → 1   ⋅ v → 2 | v → 1 | | | v → 2 | |

cos ⁡ θ = 6 3 14 = 0,92

Feito! O cosseno do ângulo é 0,92 .

Vamos pra próxima?

Resposta

0,92

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos do
Escreva o enunciado aqui.
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 =
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = 5 , y =
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos do
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos do
a Determine as equações simétricas da reta de intersecção dos planos
Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto 1,2 , - 1 e
Sejam dados u → = u 1 , u 2 , u 3 e v → = v 1 , v 2 , v 3 com u → ⋀ v
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos do
Escreva o enunciado aqui.
Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboç