Enunciado

Determine a curvatura de r (t) = ( e^t cos t , e^t s e n t , t ) no ponto (1, 0, 0)

Passo 1

Primeiramente devemos obter a primeira e segunda derivadas da curva r ( t ) .

r^' (t) = ( e^t cos t - e^t s e n t , e^t s e n t + e^t cos t , 1 )

r^(' ') (t) = [(e^t cos t - e^t s e n t) - (e^t s e n t + e^t cos t)] i +

[(e^t s e n t + e^t cos t) + (e^t cos t - e^t s e n t)] j

r^(' ') (t) = (- 2 e^t s e n t) i + (2 e^t cos t) j

Observemos que para a função vetorial r ( t ) , no ponto (1, 0, 0) temos t = 0 . Portanto, para esse valor de t , temos:

r^' (0) = ( e^0 cos 0 - e^0 s e n 0 , e^0 s e n 0 + e^0 cos 0 , 1 )

r^' (0) = ( 1 , 1 , 1 )

r^(' ') (0) = ( - 2 e^0 s e n 0 , 2 e^0 cos 0 , 0 )

r^(' ') (0) = ( 0 , 2 , 0 )

Passo 2

Precisamos calcular o módulo do vetor tangente r ' ( 0 ) pois seu valor será usado depois para calcular a curvatura em t = 0 .

|r^' (0)| = sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3)

Passo 3

Também é necessário obter o produto vetorial r^' (t) xx r ' ' ( t ) em t = 0 . Temos:

r^' (0) xx r^(' ') (0) = [[[i,j,k],[1,1,1],[0,2,0]]]

r^' (0) xx r^(' ') (0) = (0 - 2) i - (0 - 0) j + (2 - 0) k

r^' (0) xx r^(' ') (0) = ( - 2 , 0 , 2 )

O módulo do produto vetorial calculado acima é:

|r^' (0) xx r^(' ') (0)| = sqrt(2^2 + 0 + 2^2)

|r^' (0) xx r^(' ') (0)| = 2 sqrt(2)

Passo 4

Substituindo os resultados, obtidos no passo anterior, dentro da fórmula do Teorema 10 obtemos a curvatura da função vetorial dada.

k (0) = (|r^' (0) xx r^(' ') (0)|)/(|r^' (0)|^3)

k (0) = (2 sqrt(2))/(( sqrt(3) )^3)

k (0) = (2 sqrt(2))/(3 sqrt(3))

Resposta

k (0) = (2 sqrt(2))/(3 sqrt(3))

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