Determine a derivada da função y = z \* cos^(-1)z - raiz(1 - z^2)

Passo 1

Primeiro aplicamos a regra da soma:

d y d z = d d z z   ⋅ c o s - 1 z - 1 - z 2 = d d z z   ⋅ c o s - 1 z + d d z - 1 - z 2

Passo 2

1-Depois aplicamos a regra da multiplicação na primeira derivada:

d y d z = d d z z   ⋅ c o s - 1 z + d d z - 1 - z 2 = d d z z ⋅ c o s - 1 z + z   ⋅ d d z c o s - 1 z + d d z - 1 - z 2

Passo 3

A derivada de z será:

d d z z = 1

Passo 4

Para a derivada a função inversa do cosseno é necessário usar a relação:

d d t c o s - 1 x =   - 1 1 - x 2 d x d t d d z c o s - 1 z =   - 1 1 - z 2 ⋅ d d z ( z ) =   - 1 1 - z 2

Passo 5

Para a derivada da raiz, precisamos aplicar regra da cadeia. Derivamos primeiro a raiz e depois o que está dentro dela:

d d z - 1 - z 2 =   - d d z 1 - z 2 =   - 1 2 1 - z 2 ⋅ d d z 1 - z 2 =   - 1 2 1 - z 2 ⋅ - 2 z = z 1 - z 2

Resposta

Substituindo tudo teremos:

d y d z = c o s - 1 z + z   ⋅ - 1 1 - z 2 + z 1 - z 2 d y d z = c o s - 1 z

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