Enunciado

Derive a função

H z = ln ⁡ a 2 - z 2 a 2 + z 2

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada de primeira ordem da função

H z = ln ⁡ a 2 - z 2 a 2 + z 2

em relação a z .

Para isso, veja que H z é formada por uma função l n que possui em seu argumento outra função   a 2 - z 2 a 2 + z 2 . Ou seja, temos uma função dentro da outra, o que chamamos função composta.

Mas antes de cair pra dentro dessa derivação, vamos usar as propriedades do logaritmo para ajudar a gente a deixar essa função um pouco mais simples de ser derivada.

Então a ideia inicial é essa, vamos mexer na função para facilitar ao máximo a sua resolução, depois a gente analisa qual a melhor regra de derivação para o nossa caso.

Bom, essas serão nossas ferramentas de hoje. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar juntando tudo que vamos precisar. Nossa função é:

H z = ln ⁡ a 2 - z 2 a 2 + z 2

E para facilitar nossa vida, vamos transformar essa raiz em expoente fracionário:

H z = ln ⁡ a 2 - z 2 a 2 + z 2 1 2

Agora podemos usar essa propriedade do logaritmo:

log ⁡ a b = b log ⁡ a

Assim, nossa função se torna:

H z = 1 2 ln ⁡ a 2 - z 2 a 2 + z 2

Isso facilita um pouco a nossa vida.

Outra propriedade que podemos usar é essa aqui:

log ⁡ a b = log ⁡ a - log ⁡ b

E nossa função se transforma novamente. Assim:

H z = 1 2 ln ⁡ a 2 - z 2 - ln ⁡ a 2 + z 2

Maravilha! Já ficou bem melhor. Agora basta fazer a derivada de cada termo que está dentro dos colchetes. Assim:

H ' z = 1 2 ln ⁡ a 2 - z 2 ' - ln ⁡ a 2 + z 2 '

Passo 3

Vamos começar com:

ln ⁡ a 2 - z 2 '

E estamos olhando pra ela como sendo uma função composta. Assim:

F z = f g z

f g z = ln ⁡ g z

E a regra da cadeia é

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

A derivada da de fora é a derivada de ln ⁡ , então sua derivada será dada por:

f ' g x = ln ⁡ g z ' = 1 g z

Como

g z = a 2 - z 2

ln ⁡ g z ' = 1 a 2 - z 2

Show, e a derivada da função e dentro é

g ' z = a 2 - z 2 ' = - 2 z

Aplicando a regra da cadeia, teremos:

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

ln ⁡ a 2 - z 2 ' = 1 a 2 - z 2 ⋅ - 2 z

Arrumando um pouco melhor, ficamos com:

ln ⁡ a 2 - z 2 ' = - 2 z a 2 - z 2

Passo 4

O segundo termo é bem parecido. Precisamos agora de:

ln ⁡ a 2 + z 2 '

E também estamos olhando pra ela como sendo uma função composta. Assim:

F z = f g z

f g z = ln ⁡ g z

E a regra da cadeia é

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

A derivada da de fora é a derivada de ln ⁡ , então sua derivada será dada por:

f ' g x = ln ⁡ g z ' = 1 g z

Como

g z = a 2 + z 2

ln ⁡ g z ' = 1 a 2 + z 2

Show, e a derivada da função e dentro é

g ' z = a 2 + z 2 ' = 2 z

Aplicando a regra da cadeia, teremos:

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

ln ⁡ a 2 - z 2 ' = 1 a 2 + z 2 ⋅ 2 z

Arrumando um pouco melhor, ficamos com:

ln ⁡ a 2 + z 2 ' = 2 z a 2 + z 2

Show. Agora basta encaixar esses resultados em nossa função original.

Passo 5

Lembrando que estamos fazendo:

H ' z = 1 2 ln ⁡ a 2 - z 2 ' - ln ⁡ a 2 + z 2 '

Substituindo o que acabamos de encontrar, teremos:

H ' z = 1 2 - 2 z a 2 - z 2 - 2 z a 2 + z 2

Colocando o - 2 z e evidência, teremos:

H ' z = - 2 z 2 1 a 2 - z 2 + 1 a 2 + z 2

Tirando o mmc, entre os denominadores, e simplificando o 2 , ficamos com:

H ' z = - z a 2 + z 2 + a 2 - z 2 a 2 - z 2 a 2 + z 2

Reduzindo os termos semelhantes do numerador, teremos:

H ' z = - 2 z a 2 a 2 - z 2 ⋅ a 2 + z 2

Aplicando o produto notável diferença de quadrados no denominador, temos:

H ' z = - 2 z a 2 a 4 - z 4

reorganizando

H ' z = 2 z a 2 z 4 - a 4

Ufaa!! Agora tá bom, né!

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

H ' z = 2 z a 2 z 4 - a 4

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