Determine a derivada da função y = z \* sec^(-1)(z) - raiz(z^2 - 1)

Passo 1

Devemos inicialmente aplicar a regra da multiplicação, pois temos duas funções dependentes de z. Somado a isso, o segundo termo a direita da igualdade apresenta uma função composta:

d y d z = d d z z   s e c - 1 z - z 2 - 1 =   d z d z ⋅ s e c - 1 z + z ⋅ d d z s e c - 1 z   - d d z ( z 2 - 1 )

Passo 2

Ao aplicarmos a derivada, o primeiro termo a direita depois da igualdade dará como resultado um. O segundo dará uma regra da cadeia na função trigonométrica e o último também será aplicado uma regra da cadeia. O resultado das derivadas estão abaixo:

d y d z =   s e c - 1 z + z 1 | z | z - 1 d z d z   - 1 2 ( z 2 - 1 ) 1 / 2   -   1 d d z z 2

Passo 3

Derivando os termos no interior da regra da cadeia resultará em:

d y d z = s e c - 1 z + z 1 | z | z 2 - 1 - 1 2 ( z 2 - 1 ) - 1 / 2 ⋅ 2 z

Resposta

Simplificando os termos semelhantes, e invertendo o termo com expoente negativo fracionário resultará em :

d y d z = s e c - 1 z + 1 z 2 - 1 - z z 2 - 1

Também podemos somar os dois últimos termos a direita da igualdade, resultando em:

d y d z = s e c - 1 z + 1 - z z 2 - 1

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