Determine a derivada de ordem n .

b) f(x) = sen(x)

Passo 1

Oi, galerinha! Nessa questão a ideia é derivar a função seno a fim de se encontrar um padrão para uma derivada de ordem n .

Vamos derivar a função f x algumas vezes:

f ' = f x ' = sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

f ' ' = f ' ' = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

f ' ' ' = f ' ' ' = - sen ⁡ x ' = - cos ⁡ x

f 4 = f ' ' ' ' = - cos ⁡ x ' = sen ⁡ x

f 5 = f 4 ' = sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Repara que a nossa derivada de ordem 4 é igual a nossa função original

f 4 = - cos ⁡ x ' = sen ⁡ x = f = f ( 0 )

E a nossa derivada de ordem 5 é igual a nossa derivada de primeira ordem

f 5 = sen ⁡ x ' = cos ⁡ x = f '

Vamos confirmar se temos um padrão se repetindo!

Passo 2

Perceba que um padrão vai começar a se repetir:

f ( 6 ) = - sen ⁡ x = f 2

f ( 7 ) = - cos ⁡ x = f 3

f 8 = sen ⁡ x = f ( 4 ) = f 0

f 9 = f 5 = f 1

Deste modo, a cada quatro derivadas, o padrão se repete. Então a derivada de ordem n será:

f n x = sen ⁡ x ,           s e       n = 4 m + 0 cos ⁡ x ,           s e       n = 4 m + 1 - sen ⁡ x ,           s e       n = 4 m + 2 - cos ⁡ x ,           s e       n = 4 m + 3

onde m ∈ N .

Resposta

f n x = sen ⁡ x ,           s e       n = 4 m + 0 cos ⁡ x ,           s e       n = 4 m + 1 - sen ⁡ x ,           s e       n = 4 m + 2 - cos ⁡ x ,           s e       n = 4 m + 3

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