Determine a derivada.

y = (sen(x) + cos(x))^3

Passo 1

Vamos analisar a função, temos uma função trigonométrica dentro de um polinômio, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

y ' = d y d x = d y d u ⋅ d u d x

Onde u = g x .

Passo 2

Temos que g x é a função mais de dentro e y = f x a função mais de fora:

u = g x = sen ⁡ x + cos ⁡ x

Assim:

y = f x = u 3

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função trigonométrica e do polinômio, vamos dá uma olhada nelas:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

x n ' = n x n - 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = d y d x = d y d u ⋅ d u d x = d d u u 3 ⋅ d d x sen ⁡ x + cos ⁡ x = 3 u 3 - 1 ⋅ cos ⁡ x + - sen ⁡ x = 3 u 2 cos ⁡ x - sen ⁡ x

Passo 4

Por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y ' = 3 u 2 cos ⁡ x - sen ⁡ x = 3 sen ⁡ x + cos ⁡ x 2 cos ⁡ x - sen ⁡ x

Resposta

y ' = 3 sen ⁡ x + cos ⁡ x 2 cos ⁡ x - sen ⁡ x

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