Enunciado

Encontre a derivada da função.

f ( t ) = tg (e^t) + e^(tg t)

Passo 1

Vamos lá, temos aqui que a derivada da soma é a soma das derivadas:

f^' ( t ) = (tg (e^t) + e^(tg t)) ' = (tg (e^t)) ' + ( e^(tg t) ) '

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia, das funções trigonométricas e da função exponencial:

(tg (x))^' = sec^2 (x)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) . f ' ( x )

Passo 3

Agora vamos usar as três regras para derivar (tg (e^t)) ' :

(tg (e^t))^' = sec^2 (e^t) . (e^t)^' = sec^2 (e^t) . e^t . t^(1 - 1) = sec^2 (e^t) . e^t . t^0 = sec^2 (e^t) . e^t . 1 = e^t sec^2 (e^t)

Passo 4

Vamos calcular ( e^(tg t) ) ' usando as três regras também:

(e^(tg t))^' = e^(tg t) . (tg (t) ') = e^(tg t) . sec^2 (t)

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula:

f^' ( t ) = (tg (e^t))^' + (e^(tg t))^' = e^t sec^2 (e^t) + e^(tg t) . sec^2 (t)

Resposta

f^' (t) = e^t sec^2 (e^t) + e^(tg t) . sec^2 (t)

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