Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = [x + (x + sen^2 x)^3]^4

Passo 1

Aqui vamos usar a regra da cadeia primeiramente:

y^' = ([x + (x + sen^2 x)^3]^4)^' = 4 [x + (x + sen^2 x)^3]^(4 - 1) (x + (x + sen^2 x)^3)^' = 4 [x + (x + sen^2 x)^3]^3 (x + (x + sen^2 x)^3)^'

Passo 2

Vamos calcular a derivada do fim separamente, primeiro usando a regra da soma:

(x + (x + sen^2 x)^3)^' = (x)^' + ((x + sen^2 x)^3)^' = 1 + ((x + sen^2 x)^3)^'

Passo 3

Já para calcular ((x + sen^2 x)^3)^' vamos usar a regra da função trigonométrica seno, além da regra da cadeia e novamente da soma:

(sen (x)) ' = cos (x)

((x + sen^2 (x))^3)^' = 3 (x + sen^2 (x))^(3 - 1) (x + sen^2 (x))^' = 3 (x + sen^2 (x))^2 (x + sen^2 (x))^'

Passo 4

Vamos calcular a última derivada separadamente:

(x + sen^2 (x))^' = (x^(1 - 1) + 2 sen^(2 - 1) (x) (sen (x)) ') = (1 + 2 sen (x) cos (x))

Passo 5

Agora é só substituir na expressão:

y^' = 4 [x + (x + sen^2 x)^3]^3 (x + (x + sen^2 x)^3)^' = 4 [x + (x + sen^2 x)^3]^3 (1 + ((x + sen^2 x)^3)^') = 4 [x + (x + sen^2 x)^3]^3 (1 + 3 (x + sen^2 (x))^2 (x + sen^2 (x))^') = 4 [x + (x + sen^2 x)^3]^3 (1 + 3 (x + sen^2 (x))^2 (1 + 2 sen (x) cos (x)))

Resposta

y ' = 4 [x + (x + sen^2 x)^3]^3 (1 + 3 (x + sen^2 (x))^2 (1 + 2 sen (x) cos (x)))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Use um recurso computacional para obter o gráfico da função f x = x 4 - x 2 .(b) Use o gráfico de (a) para fazer um esboço do gráfico de f ' . (c) Encontre f ' ( x ) e verifique seu trabalho em (b
Encontre f ' ( x ) f (x) = t g sqrt(x)
Encontre f ' ( x ) f (x) = sqrt(cos (5 x))
Encontre f ' ( x ) f (x) = cos^2 (3 sqrt(x))
Encontre d y // d x y = sqrt(x) t g^3 ( sqrt(x) )