j) x^4 - 2x^3 + 2x

Passo 1

Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função:

f´(x) = 4 x 3 -   6 x 2 +   2 f´´(x) = 12 x 2 -   12 x

Passo 3

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos:

f´´(x) = 0 12x ( x – 1) = 0 x = 0 e x = 1

Logo,

f(x)

f(x) > 0 : (-   ∞ , 0) U (1,+   ∞ )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

(-   ∞ , 0) U (1,+   ∞ )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para baixo no intervalo:

(0, 1)

O ponto de inflexão é onde a função muda a sua concavidade, nesse caso são:

0 e 1

Resposta

côncava para cima no intervalo: (-   ∞ , 0) U (1,+   ∞ )

côncava para baixo no intervalo: (0, 1)

Pontos de inflexão: 0 e 1

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