Ache a derivada da função f(x) = sec^(-1)(cosh(x)) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função inversa trigonométrica com uma hiperbólica em que a hiperbólica está dentro da trigonométrica, daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função trigonométrica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar da derivada

( sec - 1 ⁡ x ) ' = 1 x x 2 - 1

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( sec - 1 ⁡ u ) ' = u ' u u 2 - 1

Passo 2

No nosso exemplo, f x = sec - 1 ⁡ cosh ⁡ x ⏟ u , logo u = cosh ⁡ x e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com

f ' x = ( sec - 1 ⁡ u ) ' = ( cosh ⁡ x ) ' cosh ⁡ x ( cosh ⁡ x ) 2 - 1

Passo 3

Agora precisamos da derivada de cosh ⁡ x . Pessoal, a derivada do cosseno hiperbólico é o seno hiperbólico.

cosh ⁡ x ' = senh ⁡ x

Agora basta substituir na f ' ( x ) .

Passo 4

Substituindo cosh ⁡ x ' = senh ⁡ x em

f ' x = ( cosh ⁡ x ) ' cosh ⁡ x ( cosh ⁡ x ) 2 - 1

ficamos com

f ' x = senh ⁡ x cosh ⁡ x ( cosh ⁡ x ) 2 - 1

Aqui podemos colocar cosh ⁡ x = cosh ⁡ x , pois cosh ⁡ x = e - x + e x 2 > 0 é uma função sempre positiva.

f ' x = senh ⁡ x cosh ⁡ x ( cosh ⁡ x ) 2 - 1 = tanh ⁡ x cosh 2 ⁡ x - 1

Acima usamos a definição de tanh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x . Agora ficou bacana, né?

Resposta

f ' x = tanh ⁡ x cosh 2 ⁡ x - 1

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