Enunciado

Ache a derivada da função g (x) = cos^(- 1) ( tgh 2 x ) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função inversa trigonométrica com uma hiperbólica em que a hiperbólica está dentro da trigonométrica, daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função trigonométrica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar da derivada

( cos^(- 1) x ) ' = (- 1)/(sqrt(1 - x^2))

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( cos^(- 1) u ) ' = (- u ')/(sqrt(1 - u^2))

Passo 2

No nosso exemplo, g (x) = cos^(- 1) underset(u)(ubrace (tgh 2 x)) , logo u = tgh 2 x e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com

g ' (x) = [ cos^(- 1) ( tgh 2 x ) ] ' = (- ( tgh 2 x ) ')/(sqrt(1 - ( tgh 2 x )^2))

Passo 3

Agora precisamos da derivada de tgh 2 x .

Devemos lembrar que ( tgh x ) ' = sech^2 x , porém temos, no nosso exemplo, 2 x no lugar de x , então devemos utilizar a regra da cadeia de novo

(tgh 2 x ) ' = ( sech^2 2 x) * (2 x) ' = 2 ( sech^2 2 x )

Aqui foi utilizada a derivada (a x) ' = a com a = 2 .

Passo 4

Substituindo a derivada ( tgh 2 x ) ' = 2 ( sech^2 2 x ) em

g ' (x) = (- ( tgh 2 x ) ')/(sqrt(1 - ( tgh 2 x )^2))

temos

g ' (x) = (- 2 ( sech^2 2 x ))/(sqrt(1 - ( tgh 2 x )^2))

Aqui podemos utilizar a propriedade sech^2 2 x = 1 - tgh^2 2 x e ficar com

g ' ( x ) = (- 2 ( sech^2 2 x ))/(sqrt(sech^2 2 x)) * (sqrt(sech^2 2 x))/(sqrt(sech^2 2 x)) = (- 2 ( sech^2 2 x ) sqrt(sech^2 2 x))/(sech^2 2 x) = - 2 sqrt(sech^2 2 x)

Bem simplificado, né?

Resposta

g ' (x) = - 2 sqrt(sech^2 2 x)

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