Ache a derivada da função g(x) = cos^(-1)(tgh(2x)) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função inversa trigonométrica com uma hiperbólica em que a hiperbólica está dentro da trigonométrica, daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função trigonométrica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar da derivada

( cos - 1 ⁡ x ) ' = - 1 1 - x 2  

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( cos - 1 ⁡ u ) ' = - u ' 1 - u 2

Passo 2

No nosso exemplo, g x = cos - 1 ⁡ tgh ⁡ 2 x ⏟ u , logo u = tgh ⁡ 2 x e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com

g ' x = [ cos - 1 ⁡ ( tgh ⁡ 2 x ) ] ' = - ( tgh ⁡ 2 x ) ' 1 - ( tgh ⁡ 2 x ) 2

Passo 3

Agora precisamos da derivada de tgh ⁡ 2 x .

Devemos lembrar que ( tgh ⁡ x ) ' = sech 2 ⁡ x , porém temos, no nosso exemplo, 2 x no lugar de x , então devemos utilizar a regra da cadeia de novo

tgh ⁡ 2 x ) ' = ( sech 2 ⁡ 2 x ⋅ 2 x ' = 2 ( sech 2 ⁡ 2 x )

Aqui foi utilizada a derivada a x ' = a com a = 2 .

Passo 4

Substituindo a derivada ( tgh ⁡ 2 x ) ' = 2 ( sech 2 ⁡ 2 x ) em

g ' x = - ( tgh ⁡ 2 x ) ' 1 - ( tgh ⁡ 2 x ) 2

temos

g ' x = - 2 ( sech 2 ⁡ 2 x ) 1 - ( tgh ⁡ 2 x ) 2

Aqui podemos utilizar a propriedade sech 2 ⁡ 2 x = 1 - tgh 2 ⁡ 2 x e ficar com

g ' ( x ) = - 2 ( sech 2 ⁡ 2 x ) sech 2 ⁡ 2 x ⋅ sech 2 ⁡ 2 x sech 2 ⁡ 2 x = - 2 ( sech 2 ⁡ 2 x ) sech 2 ⁡ 2 x sech 2 ⁡ 2 x = - 2 sech 2 ⁡ 2 x

Bem simplificado, né?

Resposta

g ' x = - 2 sech 2 ⁡ 2 x

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