Enunciado

Determine as derivadas parciais indicadas.

f (x , y , z) = ln ((1 - sqrt((x^2 + y^2 + z^2)))/(1 + sqrt(x^2 + y^2 + z^2))) ; f_y (1,2 , 2)

Passo 1

Tá pedindo a derivada parcial em y no ponto ( 1,2 , 2 ) , então a gente faz a parcial de y e depois substitui o ponto. Nesse nem precisa fazer a derivada parcial em x nem em z .

Vamos lá...

f_y = (1)/(((1 - sqrt((x^2 + y^2 + z^2)))/(1 + sqrt(x^2 + y^2 + z^2)))) (del f)/(del y) ((1 - sqrt((x^2 + y^2 + z^2)))/(1 + sqrt(x^2 + y^2 + z^2)))

= (1)/(((1 - sqrt(x^2 + y^2 + z^2))/(1 + sqrt(x^2 + y^2 + z^2)))) ((- (y)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) (1 + sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) - (y)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) (1 - sqrt(x^2 + y^2 + z^2)))/((1 + sqrt(x^2 + y^2 + z^2))^2))

(Regra do quociente aqui)

Passo 2

Agora a gente inverte pra ver se dá pra cortar alguma coisa...

(1)/(((1 - sqrt((x^2 + y^2 + z^2)))/(1 + sqrt(x^2 + y^2 + z^2)))) (- ((2 y)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)))/(1 + sqrt(x^2 + y^2 + z^2)))

((1 + sqrt(x^2 + y^2 + z^2)))/(1 - sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) (- ((2 y)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)))/(1 + sqrt(x^2 + y^2 + z^2)))

(Cortamos o que anula)

(1)/(1 - sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) (- (2 y)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)))

= - (2 y)/((1 - sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

Beleza, vamos deixar assim mesmo e substituir o ponto!

Passo 3

f_y (1,2 , 2) = - (2 y)/((1 - sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

f_y (1,2 , 2) = - (2 (2))/((1 - sqrt(1^2 + 2^2 + 2^2)) (sqrt(1^2 + 2^2 + 2^2)))

f_y (1,2 , 2) = (- 4)/((1 - 3) (3))

f_y (1,2 , 2) = (- 4)/(- 6)

f_y (1,2 , 2) = (2)/(3)

Prontinho!!

Resposta

f_y (1,2 , 2) = (2)/(3)

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