Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

g u , v = u + 2 v u 2 + v 2

Passo 1

Bom, o problema pede para achar as derivadas parciais de primeira ordem da função dada. Para isso, basta tomar as derivadas usando as regras de derivação!

Neste caso, temos uma função de u e v . Vamos derivar primeiro com relação a u . Pela regra do quociente, considerando v constante:

∂ g ∂ u = 1 ⋅ u 2 + v 2 - 2 u   ( u + 2 v ) u 2 + v 2 2

Logo,

∂ g ∂ u = u 2 + v 2 - 2 u 2 - 4 u v u 2 + v 2 2

Portanto,

∂ g ∂ u = v 2 - u 2 - 4 u v u 2 + v 2 2

Passo 2

Agora fazemos o mesmo com relação a v :

∂ g ∂ v = 2 ⋅ u 2 + v 2 - 2 v   ( u + 2 v ) u 2 + v 2 2 = 2 u 2 + 2 v 2 - 2 u v - 4 v 2 u 2 + v 2 2

Portanto,

∂ g ∂ v = 2 u 2 - 2 v 2 - 2 u v u 2 + v 2 2

Resposta

∂ g ∂ u = v 2 - u 2 - 4 u v u 2 + v 2 2

∂ g ∂ v = 2 u 2 - 2 v 2 - 2 u v u 2 + v 2 2

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