Enunciado

Determine as derivadas parciais de segunda ordem

48-

f x , y = l n ⁡ ( 3 x + 5 y )

Passo 1

Vamos começar fazendo a derivada parcial em relação a x dessa função:

f x = 1 3 x + 5 y × ∂ 3 x + 5 y ∂ x

Uma vez que a derivada de l n é:

∂ ( ln ⁡ u ) ∂ u = 1 u

Logo:

f x = 3 3 x + 5 y

Agora para a derivada segunda de x :

f x x = ∂ 3 3 x + 5 y ∂ x = - 3 3 x + 5 y 2 × 3 = - 9 3 x + 5 y 2

Uma vez que:

∂ 1 u ∂ u = - 1 u 2

Passo 2

Agora vamos fazer a primeira derivada da função em relação a y :

f y = 1 3 x + 5 y × ∂ 3 x + 5 y ∂ y = 5 3 x + 5 y

Agora para a segunda derivada:

f y y = - 5 3 x + 5 y 2 × ∂ 3 x + 5 y ∂ y = - 25 3 x + 5 y 2

Passo 3

Agora falta as derivadas f x y ou f y x e que podem ser encontradas da seguinte maneira:

f x y = f y x = ∂ 3 3 x + 5 y ∂ y = ∂ 5 3 x + 5 y ∂ x = - 15 3 x + 5 y 2

Resposta

f x x = - 9 3 x + 5 y 2

f y y = - 25 3 x + 5 y 2

f x y = f y x = - 15 3 x + 5 y 2

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