Enunciado

Determine as derivadas parciais de segunda ordem

50-

z = y   t g ( 2 x )

Passo 1

Lembrando como que se faz a derivada da tangente, utilizando a regra do quociente.

d d x t g   x = d d x sin ⁡ x cos ⁡ x = ( sin ⁡ x ) ' ( cos ⁡ x ) - ( sin ⁡ x ) ( cos ⁡ x ) ' cos 2 ⁡ x = co s 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x

d d x ( t g   x ) = sec 2 ⁡ x

Dessa forma a derivada em x de t g ( 2 x ) será:

d d x t g   2 x = sec 2 ⁡ 2 x × d d x 2 x = 2 sec 2 ⁡ ( 2 x )

Também precisaremos saber como se faz a derivada de sec 2 ⁡ ( x )   para encontrarmos a derivada segunda.

Da relação fundamental da trigonometria sabemos que:

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Dividindo tudo por cos 2 ⁡ x   temos:

t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x

Logo a derivada de sec 2 ⁡ x   será:

d d x ( sec 2 ⁡ x ) = d d x t g 2 x + d d x ( 1 )

d d x sec 2 ⁡ x = 2 t g x × sec 2 ⁡ ( x ) + 0

Passo 2

Fazendo então as derivadas em relação a x de z nós teremos pela regra do produto:

z x = d y d x t g 2 x + y d t g ( 2 x ) d x = 0 + 2 y s e c 2 ( 2 x )

Agora a segunda derivada.

z x x = 0 + 2 y d d x ( sec 2 ⁡ ( 2 x ) )  

Onde temos a derivada da secante ao quadrado no passo 1, mas não devemos esquecer da regra da cadeira no 2 x , isso nos dá:

z x x = 4 y t g 2 x sec 2 ⁡ ( 2 x ) × 2 = 8 y t g 2 x sec 2 ⁡ ( 2 x )

Fazer z x y vai ser fácil com esse z x aí:

z x y = d 2 y s e c 2 2 x d y = 2 sec 2 ⁡ ( 2 x )

Passo 3

Agora vamos para as derivadas em y :

z y = d y d y t g 2 x + y d t g ( 2 x ) d y = t g 2 x + 0

Dessa forma z y y será:

z y y = d t g ( 2 x ) d y = 0

Tem nada em y na fórmula de z y , logo é zero.

Para confirmar z y x será:

z y x = d t g 2 x d x = 2 sec 2 ⁡ ( 2 x ) = z x y

Tudo correto então, vamos para a próxima pessoar.

Resposta

z x x = 8 y t g 2 x sec 2 ⁡ ( 2 x )

z x y = 2 sec 2 ⁡ ( 2 x )

z y y = 0

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