Enunciado

Determine as derivadas parciais de segunda ordem

49-

z = x x + y

Passo 1

Começando pelas derivadas em relação a x temos a seguinte regra do quociente:

z x = d x d x x + y - x d x + y d x x + y 2 = x + y - x x + y 2 = y x + y 2

Não há muito a necessidade de regra da cadeia nesse caso e como a função se chama z logo a primeira derivada em relação a x se chama z x x . E y aqui não depende de x , logo d y d x = 0

Agora para a segunda derivada.

z x x = d y d x ( x + y 2 - y d d x x + y 2 x + y 4 = 0 - 2 y ( x + y ) x + y 4 = - 2 y x + y 3

Agora vamos fazer z x y :

z x y = d y d y x + y 2 - y d x + y 2 d y x + y 4 = x + y 2 - 2 y ( x + y ) x + y 4 = x + y - 2 y x + y 3

z x y = x - y x + y 3

Passo 2

Agora vamos para as derivadas em y :

z y = d x d y x + y - x d ( x + y ) d y x + y 2 = - x x + y 2

Isso nos dá uma segunda derivada em y igual a:

z y y = - d x d y x + y 2 + x d x + y 2 d y x + y 4 = 0 + 2 x ( x + y ) x + y 4 = 2 x x + y 3

Agora podemos verificar se tudo está certo fazendo z y x :

z y x = - d x d x   x + y 2 + x d x + y 2 d x x + y 4 = - x + y 2 + 2 x x + y x + y 4 = - x + y + 2 x x + y 3

z y x = x - y x + y 3 = z x y

Logo está tudo certinho

Resposta

z x x = - 2 y x + y 3

z x y = x - y x + y 3

z y y = 2 x x + y 3

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