Enunciado

Determine as derivadas parciais de segunda ordem

52-

v = x + y 2

Passo 1

As derivadas de segunda ordem que devemos calcular são:

v x x , v y y , v x y

Resolvendo as derivadas em x temos o seguinte resultado da regra da cadeia:

v x = 1 2 x + y 2 × 1

Logo:

v x x = d d u 1 u × d d x 2 x + y 2 × d d x ( x + y 2 )

Onde u vale 2 x + y 2   , vamos fazer a regra da cadeia saca?

v x x = - 1 u 2 × 2 2 x + y 2 = - 1 4 x + y 2 x + y 2 = - 1 4 x + y 2 3 2

Podemos também fazer v x y :

v x y = d d y 1 2 x + y 2

Pela regra da cadeia:

v x y = 1 4 x + y 2 × d d y 2 x + y 2 d d y ( x + y 2 ) = 1 4 ( x + y 2 ) × 2 × 2 y 2 x + y 2 = y 2 x + y 2 3 2

Não esquecer da regra da segunda regra da cadeia em y 2 dentro da raiz.

Passo 2

Agora para as derivadas em y :

v y = d d y x + y 2  

Pela regra da cadeia ficamos com:

v y = 1 2 x + y 2 × 2 y = y x + y 2

Agora para a segunda derivada em y temos:

v y y = d y d y   x + y 2 - y d d y x + y 2 x + y 2

Vou resolver essa pela regra do quociente.

v y y = x + y 2 - y × 2 y 2 x + y 2 x + y 2

Fazendo mmc em cima temos:

v y y = x + y 2 - y 2 x + y 2 x + y 2 = x x + y 2 3 2

Agora para confirmar v y x :

v y x = y d d x 1 x + y 2 = y × - 1 x + y 2 × 1 2 x + y 2 = y 2 x + y 2 3 2 = v x y

Tudo de boas!

Resposta

v x x = - 1 4 x + y 2 3 2

v x y = y 2 x + y 2 3 2

v y y = x x + y 2 3 2

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