Enunciado

Determine o diferencial da função.

27-

w = l n sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 1

A diferencial de w se dará pela seguinte equação:

d w = (del w)/(del x) d x + (del w)/(del y) d y + (del w)/(del z) d z

Passo 2

Sabendo que a derivada de l n u e de sqrt(u) são:

(d)/(d u) ( ln u ) = (1)/(u)

(d)/(d u) = sqrt(u) = (1)/(2 sqrt(u))

Logo pela regra da cadeia temos:

(del w)/(del x) = (1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) xx (1)/(2 sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) xx 2 x = (x)/(x^2 + y^2 + z^2)

Onde se faz a derivada externa de l n depois da raiz e depois a derivada em relação a x de x^2 + y^2 + z^2

Seguindo esse mesmo raciocínio temos:

(del w)/(del y) = (y)/(x^2 + y^2 + z^2)

(del w)/(del z) = (z)/(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 3

Dessa forma se juntarmos tudo teremos:

d w = (x)/(x^2 + y^2 + z^2) d x + (y)/(x^2 + y^2 + z^2) d y + (z)/(x^2 + y^2 + z^2) d z

Resposta

d w = (x)/(x^2 + y^2 + z^2) d x + (y)/(x^2 + y^2 + z^2) d y + (z)/(x^2 + y^2 + z^2) d z

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